Derivadas

11. Problemas de Otimização
Nesta seção veremos vários exemplos de problemas cujas soluções exigem a determinação de valores máximos e/ou mínimos absolutos das funções que os representam. São chamados de problemas de otimização pelo fato de que as soluções encontradas com esta técnica são as melhores possíveis para cada caso, ou seja, resolver estes problemas com as técnicas de máximos e mínimos significa encontrar a solução ótima para eles. Problema 1: Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t3 – 10,5 t2 +30 t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento? Solução: O objetivo é determinar o máximo e o mínimo absoluto da função v(t) no intervalo 1 § t § 6. Para isso, inicialmente calculamos a primeira derivada e igualamos-na a zero para encontrar os pontos críticos: v ’(t) = 3 t 2 – 21 t +30 = 0 ñ t = 2 ou t = 5.

Portanto, estes são os pontos críticos de v, ambos pertencentes ao intervalo (1,6). Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o teste da segunda derivada: v’’(t) = 6 t – 21 fl v’’(2) = – 9 < 0 fl t = 2 é ponto de máximo local de v; v’’(5) = 9 > 0 fl t = 5 é ponto de mínimo local de v. Para determinar os pontos de máximo e mínimo globais de v em [1,6], precisamos comparar os valores que v assume nos pontos críticos, com os respectivos valores nos extremos do intervalo, pois como v é uma função contínua definida em um intervalo fechado, pode assumir seus valores máximo e mínimo globais ou nos pontos críticos, ou nos extremos do intervalo. Assim, temos: v (1) = 40,5 v(2) = 46 v(5) = 32,5 v(6) = 38.

Com isso concluímos que t = 2 é ponto de máximo global e t = 5 é ponto de mínimo global de v no