Derivadas de uma função

Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0
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Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.
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Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + Δ x0 :
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Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg α , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER.
Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando Δ x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:
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Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando Δ x0 → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo β com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = α .tende ao valor do ângulo β .
Ora, quando Δ x0 → 0 , já vimos que o quociente Δ y0 / Δ x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente Δ y0 / Δ x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo
SPQ = α , onde P é o vértice do ângulo. Quando Δ x0 → 0 , o ângulo SPQ = α , tende ao ângulo β .
Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo β . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.
Podemos escrever então: f '(x0) = tgβ
Guarde então a seguinte conclusão importante:
|A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado|
|pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto |
|x = x0.