dedução da equação de bernoulli

Dedução da Equação de Bernoulli

A figura abaixo representa uma linha de corrente de um escoamento planar.

Nesta figura pode-se observar a representação dos vetores unitários tangente T e normal N, à linha de corrente ilustrada assim como o versor k e o campo gravitacional g. O comprimento infinitesimal de arco de linha de corrente está denotado por ds. Iremos supor a linha de corrente parametrizada em termos das coordenadas do referencial definido pelos versores T e N em cada ponto.
Nestas circunstâncias poderemos exprimir o vector velocidade V em cada ponto da linha de corrente por V =VtT + VnN em que VT e VN representam, respectivamente, as correspondentes componente tangencial e normal. Como se sabe, por definição de linha de corrente, o vetor velocidade V de um escoamento, é tangente a cada um dos pontos da linha de corrente. Desta forma, numa linha de corrente, a componente normal VN da velocidade é nula e a componente tangencial é igual ao valor absoluto de V, tornando-se assim possível representar a velocidade do escoamento em cada ponto, por
V = V t
V = V t, representa como já foi dito, o valor absoluto da velocidade vetorial V em cada ponto da linha de corrente.
Representemos a Equação de Euler em termos das coordenadas associadas à linha de corrente e na sua direção.
Comecemos por observar que o primeiro membro da Equação de Euler se reduz a já que a velocidade V tem uma componente normal nula na linha de corrente.
Notemos que esta última expressão ainda se pode escrever como ja que o termo V² σT/ σs representa uma aceleração normal à linha de corrente. Por outro lado, a componente do gradiente de pressão γp na direção tangencial à linha de corrente reduz-se a Quanto à componente tangencial, à linha de corrente, do peso volúmico pg, facilmente