Declaração

ÁLGEBRA LINEAR

MATRIZES E OPERAÇÕES COM MATRIZES

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

É uma matriz quadrada onde para i > j.
Exemplos , ,

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

É uma matriz quadrada onde para i < j.
Exemplos , e

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Dadas duas matrizes e , então:

, onde

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. Se e , então , onde:

, isto é:

ii. Se e , então , onde:

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Propriedades da Multiplicação de Matrizes
(Desde que sejam possíveis as operações)

i) sendo I a matriz identidade ii) e iii) iv) e

Observe que em geral , podendo inclusive um dos membros estar definido e o outro não.

Definições

Seja A uma matriz quadrada, então:
a) A é dita SIMÉTRICA, se e somente se, .
b)
Exemplo

b) A é dita ANTI-SIMÉTRICA, se e somente se, .
Exemplo

MATRIZES ELEMENTARES

Definição

Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:
i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero; iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.

Definição

Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.
Exemplos
1. Considere a matriz identidade . Então as matrizes

, , , são matrizes

elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira:

TEOREMA
Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de . Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem , então o resultado será