Cálculo

Capítulo 2

FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.1 Introdução
Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma das noções centrais da Matemática, o conceito de função.
Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma quantidade é determinada por outras quantidades, de maneira única. Através das funções de várias variáveis poderemos modelar uma grande quantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência.
Definição 2.1. Seja A ⊂ Rn . Uma função f definida no subconjunto A com valores em R é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número real f (u). u ∈ A é chamada variável independente da função e a notação é: f : A ⊂ Rn −→ R.
Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x, y, z ) e a função por: w = f (x, y, z ), w é chamada variável dependente da função .
Se n = 2, denotamos a variável independente por u = (x, y ) e a função por: z = f (x, y ), z é chamada variável dependente da função .
Exemplo 2.1.
[1] O número de indivíduos Q de uma certa colônia de fungos depende essencialmente da quantidade N de nutrientes (gr ), da quantidade H de água (cm3 ), da
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CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

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temperatura T (0 C ) e da presença de uma certa proteina L (ml). Experimentalmente foi obtida a seguinte tabela:
N
10
20
30
22
25
10
50

H
1
3.5
5.6
8
5.1
1.4
7.3

T
10
14
16
21
12
30
35

L
0.1
0.4
0.8
0.1
0.8
1.6
0.9

Q
15
20
22
21
15
12
17

Q possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função bem definida: Q = Q(N, H, T, L)
[2] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h:
V (r, h) = π r 2 h.
Logo, um cilindro de altura h = 10 cm e raio r = 2 cm tem volume:
V (2, 10) = π 22 × 10 = 40 π cm3 , aproximadamente, 125.663 cm3
[3] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilindro circular reto de raio r e de altura l m (m =metros), com um hemisfério em