cálculo

M´etodos de Integra¸c˜ao
Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004
J´
a conhecemos as regras de deriva¸c˜ao e o Teorema Fundamental do C´alculo.
Este diz essencialmente que se f for uma fun¸c˜ao “bem comportada”, e conhecermos uma fun¸c˜ ao F tal que F = f (ou seja, F ´e uma anti-derivada de f ), ent˜ ao b f (x) dx = F (b) − F (a) .

(1)

a

O Teorema Fundamental do C´alculo aponta ent˜ao um bom m´etodo para calcular uma integral definida: encontrar uma anti-derivada e determinar sua varia¸c˜ao no intervalo de interesse. Por este motivo, buscamos nas propriedades das derivadas alguns dos chamados m´etodos de integra¸c˜ao. Neste texto tratamos dos m´etodos de integra¸c˜ ao resultantes das duas principais regras de deriva¸c˜ao: a regra do produto (ou regra de Leibniz) e a regra da cadeia.

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A Integral por Partes

Come¸cando pela regra do produto de derivadas, usamos o Teorema Fundamental do C´ alculo para chegar a uma express˜ao a primeira vista ingˆenua, mas que se mostra de grande utilidade.
Sejam f (x) e g (x) duas fun¸c˜oes bem comportadas. Sabemos que
(f g) = f g + f g .

(2)

Fazendo ent˜ ao a integral indefinida de todas essas express˜oes, obtemos
(f g) dx =

f g dx +

f g dx,

(3)

(f g) dx −

f g dx.

(4)

que pode ser reescrita como f g dx =

Agora usamos o Teorema Fundamental do C´alculo, que nos diz que
(f g) dx = f g + C,

(5)

e portanto a express˜ ao (4) pode ser reescrita como f g dx = f g −

f g dx,

(6)

onde a constante C n˜ ao precisa ser escrita pois a igualdade acima ´e uma igualdade entre anti-derivadas (dito de outra maneira, em cada membro temos um
+C).
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A express˜ ao (6) ´e uma maneira de escrever o chamado m´etodo de integra¸c˜ao por partes, onde de fato, trocamos o trabalho de resolver uma integral por outra.
Pode n˜ ao parecer de grande valia, em uma primeira e apressada opini˜ao, mas os exemplos seguintes tratam de tentar mudar tal opini˜ao.
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