Cálculo

Ponto Máximo e Mínimo de uma Função:
Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c com a, b e c números reais, sendo a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Veja: A figura abaixo mostra o gráfico de uma função y = f (x), onde assinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4.

Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os pontos x1 e x3 são pontos de máximo relativos (ou local), enquanto que f(x1) e f(x3) são valores máximos relativos. Os pontos x2 e x4 são chamados pontos de mínimo relativos (ou local), enquanto que f(x2) e f(x4) são os valores mínimos relativos. Além disso, observamos que f é crescente para x < x1, x ∈ (x2, x3) e x > x4, e decrescente para x ∈ (x1, x2) e x ∈ (x3, x4). A formalização destas definições é apresentada a seguir:
Definição 1: Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ I.
Definição 2: Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ I.

Definição 3: Seja f uma função definida em um intervalo I:
(i) f é crescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2 ∈ I tais que x1 < x2 f (x1) ≤ f (x2);
(ii) f é decrescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2 ∈ I tais que x1 < x2 f (x1) ≥ f (x2).

Assim sendo:

Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas: