Cálculo

CÁLCULO DE ÁREAS EM COORDENADAS POLARES

Coordenadas Polares
Além do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se usar o sistema de coordenadas polares no plano, que consiste de um ponto de origem O (pólo) e um semi-eixo positivo Ox (eixo polar). A cada ponto P do plano, são associadas suas coordenadas polares ((,() que consistem em:
( = Distância polar: distância do pólo O ao ponto P.
( = Argumento: ângulo entre o eixo polar e a semi-reta OP.
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RELAÇÃO ENTRE COORDENADAS CARTESIANAS E POLARES
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Denotamos um ponto P por ((,–θ), para ( e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário. Assim, ((,–θ) = ((,2(–θ) e ((,–θ) é o simétrico de ((,θ) em relação à reta suporte do eixo polar.
Exemplo. (1,– (/4) = (1, 7(/4)
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Denotamos P por (–(,θ), para ( positivo, se
P = ((,( + θ), ou seja, consideramos
(–(,θ) = ((,( + θ). Assim, (–(,θ) é o simétrico de ((,θ) em relação ao pólo.

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Exemplo. (3,π/2) = (–3,3π/2)
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Dado um ângulo θ, temos θ = θ + 2k(, para todo k inteiro. Assim,
((,θ) = ((,θ + 2() = ((,θ + 4() = ((,θ – 2() =
((,θ – 4() = ...

Exemplo. (5, (/2) = (5, (/2 + 10() = (5, 21(/2)
FUNÇÕES E GRÁFICOS EM COORDENADAS POLARES
Uma função em coordenadas polares é definida como sendo uma função que associa a cada ângulo θ (medido em radianos) um único real ( (que pode ser negativo). Representa-se por: ( = f (θ) .

Procedimentos para traçar gráficos

1) Simetrias. Se a equação não se altera ao trocar:

a) θ por –θ: temos simetria em relação à reta θ=0 (eixo x)

b) θ por ( – θ: temos simetria em relação à reta θ = (/2 (eixo y)

c) θ por (+θ: temos simetria em relação ao pólo. É equivalente a trocar ( por −(, pois (−(,θ)=((,θ+(). Logo ((,θ)=(− (,θ) ( ((,θ)=( (,θ+().

2) Verificar se a curva passa pelo pólo (( = 0)

3) Determinar os pontos da curva variando θ a partir de θ = 0

4) Verificar a existência de pontos críticos (máximos e mínimos)

5) Verificar se ( não se