Cálculo

CURSOS LIVRES DE 3º GRAU
CÁLCULO III
INTEGRAIS DE LINHA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Calcule a integral de linha onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo.
Solução:
A parametrização dessa semicircunferência será dada por:
. Substituindo:

2. Calcular a integral onde C é a hélice circular dada por :

Solução: Assim, podemos escrever:

3. Calcule , onde C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1).
Solução:
Parametrização do segmento de reta AB:

Substituindo (1) e (2) na integral dada:

Resp.: 12
4. Calcule , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o plano x = y.
Solução:
Vamos parametrizar a curva dada:

Substituindo (1) e (2) na integral dada:

Resp.: 0
Outra Solução:

Resp: 0
5. Calcule , onde C é a elipse .
Solução:
A parametrização da elipse é dada por:

Substituindo na integral dada:

Resp.:0
6. , onde C é o arco da parábola z = y² e x = 1 de A(1,0,0) a B(1,2,4).
Solução:
Parametrizando C:

Assim:

Assim:

Resp:

7. , onde C é a curva dada por y = x³ de (-1,-1) a (1, 1).
Solução:
Sabemos que:

Parmetrizando C:

Assim:

Resp:

8. Calcule , onde C é a interseção das superfícies x² + y² + z² = 9 e x + z = 3.
Solução:
Parametrizando C:

Assim:

Resp: 0
9. Calcule , onde C é a interseção das superfícies z = x² + y² e z = 4.
Solução:
A curva C é a circunferência x² + y² = 4, cuja parametrização é dada por:

10. Calcule , onde C é o quadrado de vértices (1,0,1), (1,1,1),(0,1,1) e (0,0,1).
Solução:
Parametrizando os segmentos de reta que formam os lados do quadrado, temos:

Assim:

Resp: 8

11. Calcular a integral onde C é a interseção das superfícies x² + y² = 4 e y + z = 8.
12. Calcular , sendo C o triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,2), no sentido anti-horário.
13. Calcule , onde C é a interseção das superfícies x² + y² + z² = 9 e x + z = 3.
14. Calcule ,