Cálculo I - Sequências

Sequências

Sequências
Uma sequência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem definida: a1 , a2 , a3 , a4 , , an , a1 - primeiro termo a2 - segundo termo

an - n-ésimo termo

Notações
A sequência

{a1 , a2 , a3 , a4 , , an ,} é também denotada por

{an } ou {an }

∞ n =1

Exemplo 1
 n 


 n +1 

∞

n =1

 (−1) n (n + 1) 

 n 3



{

}

n −3

∞

n =3

∞

n an = n +1

n
1 2 3 4

,
 , , , , , n +1 
2 3 4 5

(−1) n (n + 1) an =
3n
an = n − 3, n ≥ 3

 nπ  a cos nπ , n ≥ 0
cos =

n
6
6 

n =0

 −2 3 −4 5
(−1) n (n + 1) 
,
 , , , , , n 3
 3 9 27 81


{0,1,

}

2, 3, , n − 3,

 3 1

nπ


, , 0, , cos
,
1,
6
 2 2




Exemplo 2
Ache uma fórmula para o termo geral an da sequência Exemplo 3
Sequências que não têm uma equação de definição simples
a) {pn}, onde pn é a população mundial no dia 1º de janeiro do ano n.

b) an é o algarismo na n -ésima casa do número e.
c) A sequência de Fibonacci

Observação n an = n +1

Observação

Definição 1
Uma sequência {an } tem limite L e escrevemos
= L ou an → L quando n → ∞ lim an n →∞

se pudermos tomar os termos an tão próximos de
L quanto quisermos ao fazer n suficientemente grande.

Se lim an existir, dizemos que a sequência converge, n →∞

(ou que é convergente), caso contrário dizemos que a sequência diverge (ou que é divergente).

Graficamente

Definição 2
Uma sequência {an } tem limite L e escrevemos
= L ou an → L quando n → ∞ lim an n →∞

se, para cada ε > 0, existir um inteiro correspondente N tal que se n > N então an − L < ε .

Ilustração

Teorema
Se lim f ( x) L e f (n) an quando n é um
= = x→∞ número inteiro então lim an = L n→∞ Definição lim an = ∞ significa que para cada número positivo M n →∞

existe um inteiro N tal que se n > N então an > M .

Propriedades