Cálculo II

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Ciˆncias Aplicadas e Disciplina: LE203 - C´lculo II a Per´ ıodo: 2o semestre de 2012

Professora: Bianca Morelli R. Calsavara

Turma B

Data: 03/09/2012
RA:

Aluno(a):

ATENCAO: Respostas sem justificativa ser˜o desconsideradas
¸˜
a
N˜o desgrampeie as folhas de respostas da prova. a Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.

Primeira Prova
−
Quest˜o 1: (2,5 pontos) Considere a seguinte fun¸˜o vetorial →(t) = (sen 3t, t, cos 3t). a ca r →
−
→
−
→
−
(a) Encontre os vetores tangente T , normal N e binormal B no ponto (0, 0, 1).
(b) Encontre as equa¸˜es param´tricas ou a equa¸˜o geral do plano tangente ` curva no ponto (0, 0, 1). co e ca a
→(t).
−
(c) Calcule a integral indefinida de r
(d) Calcule o comprimento de arco da fun¸˜o →(t) do ponto (0, 0, 1) ao ponto (−1, π/2, 0). ca − r Quest˜o 2: (2,5 pontos) Para cada uma das fun¸˜es abaixo, encontre o limite, ser existir, ou mostre a co que o limite n˜o existe. a a) lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 − y 2
− 2xy + y 2

b) lim(x,y)→(0,0)

Quest˜o 3: (2,5 pontos) Considere a fun¸˜o f (x, y) = ex a ca

2 +y 2 −4y

xy 2
+ y2

x2

.

(a) Encontre a dire¸˜o de maior taxa de varia¸˜o desta fun¸˜o f na origem e sua taxa m´xima de ca ca ca a varia¸˜o neste ponto. ca (b) Encontre todos os pontos de m´ximo e m´ a ınimo locais da fun¸˜o f . ca Quest˜o 4: (2,5 pontos) Utilize o M´todo dos Multiplicadores de Lagrange para resolver o problema a e abaixo, identificando a para a qual deve ser encontrado o m´ximo ou m´ a ınimo e tamb´m a restri¸˜o. e ca
Encontre o ponto do plano x − y + z = 4 que est´ mais pr´ximo ao ponto (1, 2, 3). a o
Quest˜o 5: (Quest˜o extra - 1,5 pontos) Considere a fun¸˜o f (x, y) = x2 + 2xy − 1. Encontre a a ca a aproxima¸˜o linear de f no ponto (1, 1) e utilize o polinˆmio de Taylor de segunda ordem para ca o encontrar sua aproxima¸˜o quadr´tica no mesmo ponto.