Cálculo 3

Vetores. Um vetor (nota ̧ca ̃o: A⃗) possui uma dire ̧ca ̃o e um comprimento (|A⃗|), e ́e represen- tado por um segmento de reta orientado. Em um sistema coordenado, um vetor ́e expresso por componentes: no espa ̧co, A⃗ = ⟨a1, a2, a3⟩ = a1ˆı + a2ˆ+ a3kˆ (lembre-se que no espa ̧co o eixo x aponta para a esquerda, o y para a direita e o z para cima).
Multiplicac ̧ ̃ao por escalar. Fo ́rmula para o comprimento?
√
A figura abaixo representa o vetor ⟨3, 2, 1⟩, de comprimento
Em geral, vocˆe pode explicar porque |A⃗| = 􏰀a21 + a2 + a23 por redu ̧ca ̃o ao teorema de Pita ́goras no plano. Para isso, desenhe uma figura representando o comprimento |A⃗| e sua proje ̧ca ̃o no plano xy, enta ̃o deduza |A⃗| a partir do comprimento da projec ̧ ̃ao e o teorema de Pita ́goras.
Adic ̧ ̃ao Vetorial. Ilustre um paralelogramo (de tal forma que as diagonais sejam A⃗ + B⃗ e A⃗ − B⃗); a adic ̧ ̃ao funciona componente a componente, e ́e verdade que A⃗ = 3ˆı + 2ˆ+ kˆ no exemplo apresentado.
Produto Escalar. Defini ̧ca ̃o: A⃗ · B⃗ = a1b1 + a2b2 + a3b3 (um escalar, na ̃o um vetor).
Teorema: geometricamente, A⃗ · B⃗ = |A⃗||B⃗ | cos θ.
O teorema ́e explicado a seguir: primeiro, A⃗ · A⃗ = |A⃗|2 cos 0 = |A⃗|2 ́e consistente com a defini ̧c ̃ao. Agora, considere o triaˆngulo com lados A⃗, B⃗ e C⃗ = A⃗ − B⃗ . Enta ̃o a lei dos cossenos nos afirma que |C⃗ |2 = |A⃗|2 + |B⃗ |2 − 2|A⃗||B⃗ |, ao mesmo tempo
|C⃗|2 = C⃗ · C⃗ = (A⃗ − B⃗) · (A⃗ − B⃗) = |A⃗|2 + |B⃗|2 − 2|A⃗||B⃗|. Consequ ̈entemente, o teorema ́e a formula ̧ca ̃o vetorial da lei dos cossenos.
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