Curva de perseguição

Anyelly Cristine Cruz
Antonio Carlos Galvão Junior
Caroline Marqueti Sathler

CURVA DE PERSEGUIÇÃO

Trabalho acadêmico de Equações Diferenciais Ordinárias
Medianeira
2012

1. INTRODUÇÃO

Curva de perseguição é uma das aplicações de Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Que são do tipo:
Pxy''+Qxy'+Rxy=Gx
Esse tipo de aplicação seria então problemas onde temos uma presa sendo percorrida por um predador, devemos considerar que as velocidades devem ser constantes, pois isso é adotado para descrevermos um modelo matemático, apesar de que na natureza não seria tão simples.

2. MODELO MATEMÁTICO

Genericamente vamos supor um plano (x, y) que seria duas dimensões, onde no eixo y a presa foge no sentido positivo com velocidade constante v, quando percebe que seu predador partiu de um ponto (a, 0) em sua direção, o perseguindo com uma velocidade constante w. Precisamos então determinar o ponto a, e as velocidades v e w.
Dados do problema:
ⱱ = velocidade da presa. ⱳ = velocidade do predador.
Como ambos se deslocam com velocidade constante e t0=0, temos que após um tempo t, a presa se encontrará num ponto Q= (0, vt) de modo que:
0Q=vt (1)
Enquanto o predador se encontrará num ponto P(x,y) que satisfaz t= ∆sV , onde, V= w e ∆s=PG - Comprimento de arco.
Segue-se a dedução: t= 1wxa1+|y`(x)|2dx (2)
Conforme a Fig. 2, temos que: tanθ=0Q-yx Obtemos então: y-y`x= 0Q (3)

Das equações (1) e (3), obtemos: vt=y-y`x que resulta na equação: t= y-y'xv (4)
Então de (2) e (4), segue: vwxa1+|y'|2dx=y-y'x Quando derivamos com relação a x nos dá nossa equação diferencial de segunda ordem: c1+|y`|2=y"x, onde c=vw
Esta equação é redutível a uma equação de primeira ordem com a substituição p=y', ou seja, c1+p2=p'x Por outro lado, esta equação diferencial pode ser resolvida pela técnica da separação de variáveis, ou seja, escrevendo:
Obtemos: