Crank-nicolson

Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Engenharia Química e Engenharia de Alimentos
Disciplina de Simulação de Processos
Turma 0845 - Semestre 12.1
Prof. Ricardo A. F. Machado
Problema 5
Explanação
Embora a formulação implícita para a resolução de EDP's apresente algumas vantagens em relação a formulação explicita, existe um problema associado que está relacionado a aproximação de primeira ordem no tempo enquanto no espaço a aproximação é de segunda ordem.
O método de Crank-Nicolson fornece um sistema implícito alternativo de segunda ordem, tanto para a aproximação temporal como para a aproximação espacial. O método consiste no emprego de uma aproximação por diferenças no ponto médio do incremento do tempo, como pode ser observado na
Figura 1 abaixo, onde O representam pontos envolvidos em diferenças no espaço e X pontos envolvidos em diferenças no tempo:

tl+1 tl+1/2 tl

xi -1

xi

xi+1

Figura 1. Esquema do método de Crank-Nicolson para aproximação de EDP's por diferenças finitas.

A primeira derivada no tempo pode ser aproximada em tl+1/2 por (Eq. 2.12):
≅

(2.12)

∆

A segunda derivada no espaço pode ser determinada no ponto médio do incremento temporal, conforme a equação (2.13):
≅

(∆ )

+

(2.13)

(∆ )

Substituindo as equações (2.12-13) na equação (2.1) e agrupando os termos obtemos a equação (2.14):
−

− 2(1 + )

−

=

+ 2(1 − )

+

(2.14)

onde:
= Δ /(Δ )
1

As C.C. no ponto imaginário
=
e
=
podem ser impostas no primeiro e no último nó interior. Desta forma, para o primeiro nó interior temos a equação (2.15), a seguir:
2(1 + )

−

+ 2(1 − )

=

+

+

+ 2(1 − )

+

(2.15)

e para o último nó interior, temos a equação (2.16):
−

+ 2(1 + )

=

+

(2.16)

Tal conjunto de equações, da mesma forma que na abordagem implícita simples (com aproximação temporal de ordem), resultam num sistema de equações algébricas triadiagonais.

Exemplo: