Solução Numéricade Equações Diferenciais Parciais

Cap´ ıtulo 11

Solu¸˜o Num´rica de Equa¸˜es ca e co Diferenciais Parciais
11.1

Introdu¸˜o ca Uma equa¸˜es diferencial parcial (EDP) pode ser escrita na forma geral co a

∂2φ
∂φ
∂2φ
∂2φ
∂φ
+c 2 +d
+e
+ fφ + g = 0
+b
2
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y

(11.1)

onde a, b, c, d, e, f e g podem ser fun¸˜es das vari´veis independentes x e y e da vari´vel dependente co a a φ, em uma regi˜o no plano R2 , em coordenadas cartesianas. a As EDPs podem ser classificadas em el´pticas, parab´licas ou hiperb´licas, dependendo do valor ı o o de b2 − 4ac ser negativo, zero ou positivo, respectivamente.
Como exemplos de EDPs el´ ıpticas podemos citar a equa¸ao de Poisson c˜ ∂ 2 φ ∂ 2φ
+ 2 =g
∂x2
∂y e de Laplace

(11.2)

∂2φ ∂2φ
+ 2 =0
∂x2
∂y

(11.3)

as quais s˜o associadas geralmente a problemas em equil´ a ıbrio. Uma maneira de se expressar o potencial de velocidade de um fluido incompress´ ıvel, n˜o-viscoso, em regime est´vel ´ atrav´s da a a e e equa¸˜o de Laplace: a taxa com a qual tal fluido entra em uma determinada regi˜o ´ igual aquela ca a e
`
com a qual ele sai.
J´ na teoria eletromagn´tica, o teorema de Gauss nos diz que o fluxo el´trico que passa atrav´s a e e e de uma superf´ fechada ´ igual a carga total dentro da superf´ ıcie e
`
ıcie; isto pode ser expresso por uma equa¸˜o de Poisson, ca ∂2V
∂2V
ρ
(11.4)
+
+ =0
2
2
∂x
∂y onde V ´ o potencial el´trico associado a uma distribui¸˜o bi-dimensional de carga de densidade e e ca ρ e ´ a constante diel´trica. e e
At´ hoje, apenas um n´mero limitado de equa¸˜es el´ e u co ıpticas foram resolvidas analiticamente, com sua utilidade restrita a casos onde a regi˜o de estudo considerada tem uma forma geom´trica a e simples. O mesmo pode ser dito de equa¸˜es parab´licas e hiperb´licas. Por essa raz˜o, a solu¸˜o co o o a ca dessas equa¸˜es ´ feita, essencialmente, de forma num´rica, com m´todos espec´ co e e e ıficos para cada