Matematica computacional

Matemática Computacional
Adérito Luís Martins Araújo Notas de apoio às aulas de Matemática Computacional do Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores, no ano lectivo de 2010/2011.

Figura da capa: Documento jurídico sumério YBC 3879, do período Ur III (c. 2100 – c. 2000 a.C.), onde é descrito um algoritmo geométrico para determinar as soluções de equações quadráticas. Fonte: cdli.ucla.edu/pubs/cdlj/2009/cdlj2009_003.html.

Capítulo 1

Aritmética computacional
A análise numérica é a disciplina da matemática que se ocupa da elaboração e estudo de métodos que permitem obter, de forma efectiva, soluções numéricas para problemas matemáticos, quando, por uma qualquer razão, não podemos ou não desejamos usar métodos analíticos. Para perceber melhor o que se pretende dizer por de forma efectiva, consideremos o problema do cálculo do determinante. Como é sabido, o determinante de uma matriz quadrada A = (aij )n i,j=1 é dado pela expressão det (A) = ±a1i1 · · · anin ,

onde a soma é efectuada sobre todas as n! permutações (i1 , . . . , in ) dos números 1, 2, . . . , n. Esta fórmula teórica só permite o cálculo efectivo do determinante se a dimensão da matriz for muito pequena. Por exemplo, se n = 25 o número de permutações possíveis é superior a 15 quatriliões (como é que se escreve este número?)! Se possuirmos uma máquina que calcule cada termo da expressão anterior num bilionésimo de segundo (coisa que nem remotamente os actuais computadores conseguem fazer), para calcular todas as parcelas necessitamos de 15 biliões de segundos, ou seja 400.000 anos! Os problemas que a análise numérica pretende dar solução são geralmente originários das ciências naturais e sociais, da engenharia, das finanças, e, como foi dito, não podem, geralmente, ser resolvidos por processos analíticos. Um dos primeiros e mais importantes modelos matemáticos para problemas da física foi estabelecido por Isaac Newton (1643-1729) para descrever o efeito da gravidade.