Análise de Estabilidade

ANÁLISE DE ESTABILIDADE
Na análise numérica, a Análise de estabilidade de Von Neumann (também conhecida como análise de estabilidade de Fourier) é um procedimento usado para verificar a estabilidade de métodos de diferenças finitas quando aplicados em equações diferenciais parciais. A análise é baseada na decomposição de Fourier do Erro numérico e foi desenvolvida no Laboratório Nacional de Los Alamos depois de ter sido brevemente descrita em um artigo de 1947 pelos pesquisadores britânicos John Crank e Phyllis Nicolson. Depois, foi dado um tratamento mais rigoroso ao método em um artigo co-escrito por John von Neumann.
Estabilidade numérica
A estabilidade de métodos numéricos está intimamente associada ao erro numérico. Um método de diferenças finitas é estável se os erros produzidos em um passo de tempo do cálculo não provocam um aumento dos erros à medida que os cálculos avançam. Há 3 classes de métodos numéricos. Um método numérico condicionalmente estável depende de certos parâmetros para que os erros permaneçam limitados e não instabilizem. Se os erros diminuírem ou chegarem a desaparecer, o método numérico é dito como sendo estável. Se, de outra forma, os erros aumentarem com o tempo, a solução numérica irá divergir em relação à realidade (solução exata) e então o método numérico é dito como sendo instável. A estabilidade de métodos numéricos pode ser averiguada pela análise de estabilidade de von Neumann. Para problemas dependentes do tempo, a estabilidade garante que o método numérico produza uma solução limitada sempre que a solução da equação diferencial for limitada. Estabilidade em geral, pode ser dificilmente averiguada, especialmente se a equação em questão for não-linear.
A estabilidade de von Neumann é necessária e sucifiente (tal como utilizado no Teorema de Equivalência de Lax) apenas em certos casos: a EDP e o método de diferenças finitas devem ser lineares; a EDP precisa ter condições iniciais e de fronteira e ser no máximo de segunda