Covariância e correlação de valores

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
BACHARELADO EM ADMINISTRAÇÃO

Ana Luísa Martins Macedo
Bruno H. de Oliveira Ávila
Isadora Prates F. Alvim
Laura Almeida Marçal

Estatística
Trabalho Final

Belo Horizonte
2013
Covariância e Coeficiente de Correlação
Quando estudamos a relação entre duas variáveis X e Y devemos primeiramente compreender o conceito de covariância. Se a variância é uma estatística através da qual chegamos ao desvio padrão que é uma medida de dispersão, da mesma maneira a covariância é uma estatística através da qual chegamos ao coeficiente de correlação que mede o grau de associação “linear” entre duas variáveis aleatórias X e Y.

Observe o exemplo abaixo. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer, que tomam os seguintes valores:

Na tabela acima está uma ilustração dos cálculos dos componentes da covariância e correlação.
A Figura abaixo mostra a relação entre as duas variáveis X e Y, bem como a linha ajustada a esses valores pelo método de mínimos quadrados.

Observe que a média de X é 5,5 e a média de Y é 6,0, e que elas estão formadas pelas linhas paralelas ao eixo Y e ao eixo X respectivamente. Vejamos agora o que significa os desvios de cada ponto em relação a média. Observe que cada ponto está formado pelo par ordenado (Xi, Yi), onde Xi indica o valor da variável X e Yi o valor da variável Y naquele ponto.

Tome agora, por exemplo,
DesvioX = (X9-X)=( 9 -5,5) = + 3,5 e Desvio Y =(Y9-Y)=(11-6,0) = + 5,0
O produto dos desvios:
Desvíos X DesvioY = (X9-X)*(Y9-Y) = (9 -5,5)*(11-6,0) = (+ 3,5)*(+5,0)=17,5
Se calcularmos esses produtos para todos os valores de X e Y e somarmos temos o numerador da covariância de X e Y:

Logo, covariância significa co-variação, como as duas variáveis variam de forma conjunta. Agora, vejamos o que acontece se os pontos estivessem no quadrante I. Neste caso, os desvios de X seriam todos positivos, enquanto que os desvios de Y seriam todos negativos, logo os produtos