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Teorema de Fubini
Teorema de Fubini
O teorema de Fubini (cf. [1, 2, 3]) permite relacionar o integral em R n , n > 1, com o integral em R Dado um intervalo I ⊂ R n e uma função integrável, o integral RI f pode ser calculado por integrações sucessivas numa variável est ando as restantes fixas.
Teorema 1 Sejam A ⊂ R m e B ⊂ R p , com m + p = n, intervalos tais que I = A×B edesignemos cada ponto de I por (x,y)∈ A×B. Seja f : A×B → R uma função integrável em A×B. Então: ZA×B f =ZAZB f(x,y)dydx =ZBZA f(x,y)dxdy. /// Os integrais da forma ZAZB f(x,y)dydx ouZB ZA f(x,y)dxdy são designados por integrais iterados. No primeiro integral, fixa-se x ∈ A e procede-se ao cálculo do integral de f como função de y em B, obtendo-se, assim, uma função de x a qual, de seguida, ´e integrada em A. No segundo integral procede-se do mesmo modo trocando os papéis das variáveis x e y. Portanto, o integral de f em I obtém-se por sucessivas integrações numa variável mantendo as restantes fixas.
Exemplos
Nestes exemplos iremos aplicar o teorema de Fubini ao cálculo de volumes de subconjuntos abertos e limitados de Rn cuja fronteira pode ser descrita por gráficos de funções, contínuas .Seja S ⊂ Rn um aberto limitado e seja I ⊂ R n um intervalo compacto tal que S ⊂ I e consideremos a função característica de S definida por χ S (x,y,z) = 1, se (x,y,z)∈ S 0, se (x,y,z)∈ I \S A func¸˜ao χS ´e integrável em I e o respectivo integral representa o volume de dimensão n de S vol n(S) =ZI χS =ZS.
Um subconjunto de R 2
Consideremos o conjunto definido por S ={(x,y) ∈ R 2 : x2 + y2 < 1; y > x2} representado na figura 1. Note-se que a circunferˆencia e a par´abola intersectam-se nos pontos cujas coordenadas s˜ao determinadas resolvendo o sistema
(x2 + y2 = 1 y = x2 ⇔ (y2 + y−1 = 0 y = x2), ou seja, são os pontos (a1,c),(b1,c) em que a1 =−q√5−1 2 b1 =q√5−1 2 c = √5−1 2 .
Para o integral da formada R dydx, fixamos a1 < x = a < a2 e o respectivo corte será dado por S ∩{x = a} ={(a,y) : a1