Coordenadas

Aula 4
Coordenadas polares
Nesta aula veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana. Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há curvas no plano cuja equação toma um aspecto muito simples em relação a um referencial não-cartesiano.

Definição 1
Um sistema de coordenadas polares O ρ θ no plano consiste de um ponto O, denominado pólo ou origem, de uma semi-reta OA, com origem em O, denominada eixo-polar, e de uma unidade de comprimento utilizada para medir a distância de O a um ponto qualquer do plano.
Dado um ponto P do plano, suas coordenadas nesse sistema são dois valores ρ e θ, sendo ρ a distância de P a O e θ a medida do ângulo do eixo-polar para a semi-reta OP. Escrevemos então (Figura 1):
P = (ρ, θ)
Fig. 1: Coordenadas polares.

Convencionamos que a medida do ângulo tomada de OA para OP no sentido anti-horário é positiva, e negativa no sentido horário.

Observação 1
I. A primeira coordenada polar ρ, de um ponto distinto do pólo, é sempre maior que zero, pois representa a distância do ponto ao pólo. Mas podemos tomar também valores negativos para ρ, convencionando-se, neste caso, marcar a distância |ρ| na semireta oposta, ou seja, o ponto P = (ρ, θ), com ρ < 0, corresponde ao ponto P = (−ρ, θ + π).
II. Se a primeira coordenada polar de um ponto é zero então esse ponto é o pólo. O ângulo do pólo não está definido.
III. Podemos também usar a medida radianos para os ângulos. Por exemplo, o ponto P = (2, 30o ) pode ser escrito P = (2, π/6).

Fig. 2: (ρ, θ) = (−ρ, θ + π)

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IV. O par (ρ, θ) determina, de maneira única, um ponto do plano. No entanto, um ponto no plano pode ser determinado por meio de várias coordenadas polares distintas, pois, de acordo com a construção acima, as medidas θ e θ + 2πk, onde k ∈ Z, estão associadas ao mesmo ângulo e, portanto, (ρ, θ) e (ρ, θ + 2πk) representam o mesmo ponto do plano. Além disto,