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´ Algebra Linear I - Aula 3
ˆ 1. Produto escalar. Angulos. 2. Desigualdade triangular.

Roteiro 1 Produto escalar

Considere dois vetores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) de R3 . O produto ¯ ¯ escalar de u e v ´ definido da seguinte forma: e u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . ¯ ¯ A defini¸˜o para o produto escalar de dois vetores do plano R2 ´ similar, se ca e u = (u1 , u2 ) e v = (v1 , v2 ) ent˜o ¯ ¯ a u · v = u1 v1 + u2 v2 . ¯ ¯ As principais propriedades do produto escalar (todas de simples verifica¸˜o) ca s˜o as seguintes: a • comutativo: u · v = v · u, ¯ ¯ ¯ ¯ • distributivo: (¯ + w) · v = u · v + w · v, u ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ • λ ∈ R, (λ u) · v = λ (¯ · v ). ¯ ¯ u ¯ • u · u = 0 se, e somente se, u = ¯ ¯ ¯ ¯ 0. Observe que se verifica a seguinte propriedade do m´dulo de um vetor: o u ¯ ¯ ||¯||2 = u · u.

1

1.1

Produto escalar e ˆngulos a u · v = 0. ¯ ¯

Dizemos que dois vetores u e v (n˜o nulos) s˜o ortogonais se verificam ¯ ¯ a a

Veremos a seguir que a no¸˜o de vetores ortogonais corresponde a no¸˜o ca ca de perpendicularidade. Por simplicidade, veremos esta propriedade no plano R2 . Suponha que u = (u1 , u2 ) e v = (v1 , v2 ). ¯ ¯ Considere os pontos A = (u1 , u2 ) e B = (v1 , v2 ). ¯ ¯ a u ¯ Propriedade 1.1. Os vetores u e v s˜o ortogonais (¯ · v = 0) se, e somente se, o triˆngulo de v´rtices 0 (a origem), A e B ´ retˆngulo. (Veja a figura). a e e a

A u ¯ v ¯

B

Figura 1: Ortogonalidade Prova: Observamos, em primeiro lugar que, pelo teorema de de Pit´goras, a o triˆngulo OAB ´ retˆngulo se, e somente se, a e a d(A, B)2 = d(0, A)2 + d(0, B)2 . Observe que d(A, B) = ||¯ − v ||, u ¯ e que se verificam as igualdades ||¯ − v ||2 = (¯ − v ) · (¯ − v ), u ¯ u ¯ u ¯ 2 ||¯||2 = u · u, u ¯ ¯ ||¯||2 = v · v , v ¯ ¯ d(0, A) = ||¯||, u d(0, B) = ||¯|| v (1)

A igualdade (1) ´ equivalente a: e (¯ − v ) · (¯ − v ) = u · u + v · v . u ¯ u ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Usando as propriedades do produto escalar e simplificando, obtemos, 2 (¯ · v ) = 0. u ¯ Ou seja, o