Conexidad

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Espacios conexos
En este cap´tulo estudiamos los espacios conexos y su relaci´ n con otras propiedaı o des ya estudiadas. Despu´ s de presentar unos resultados de los espacios conexos, e estudiamos los subespacios conexos de la recta real. A continuaci´ n relacionamos o conexi´ n y continuidad y estudiamos la conexi´ n de los productos cartesianos. o o Estudiamos las componentes conexas y finalizamos el cap´tulo con la conexi´ n ı o por caminos, que implica la conexi´ n ordinaria. o La definici´ n de conexi´ n para un espacio m´ trico es muy natural. As´, se dice o o e ı que un espacio puede ser “separado” (no conexo), si es posible “dividirlo” en dos conjuntos abiertos con intersecci´ n vac´a. En caso contrario, diremos que el o ı espacio es conexo. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ficas: ı Utilizar los conceptos b´ sicos asociados a la noci´ n de espacio m´ trico. a o e Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´a m´ trica. ı e Identificar los subconjuntos conexos de la recta real y, en general, de los espacios eucl´deos. ı Relacionar los conceptos de conexi´ n y continuidad en un espacio m´ trico. o e Se desarrollar´ n los contenidos siguientes: a Espacios m´ tricos conexos. Propiedades. e 151

152 Los subespacios conexos de la recta real. Conexi´ n y continuidad. o Componentes conexas. Conexi´ n por caminos. o

6.1. Conjuntos separados

6.1. Conjuntos separados
Definici´ n 6.1.1. Dado un espacio m´ trico (X, d) y dos subconjuntos A, B ⊂ X, o e diremos que A y B est´ n separados si A ∩ B = A ∩ B = ∅. a Es evidente que si A y B est´ n separados, entonces son disjuntos. Sin embargo, a el rec´proco no es cierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos. ı

Ejemplos
Ej.6.1. En R con la topolog´a usual, los intervalos (0, 1) y (1, 2) est´ n separados, ı a pero los intervalos (0, 1) y [1, 2) no lo est´ n, a pesar de que son disjuntos, a pues (0, 1) = [0, 1] y [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}. Ej.6.2. En (R2 , d2 ) el