Condução de calor unidimensional Métodos dos volumes finitos

Condução de calor unidimensional
Métodos dos volumes finitos

Fundamentação teórica

Considerando a condução de calor governada pela equação:
(1) (k) + s = 0
Onde k é a condutividade térmica, T é a temperatura, e S é taxa de geração de calor por unidade de volume.
Para discretizar essa equação diferencial, devemos empregar um conjunto de pontos em uma malha, como mostrado na figura abaixo.

Figura 1: Discretização do problema unidimensional, em um conjunto de pontos de malha.

A figura 1 mostra o ponto de interesse na malha, o ponto P, que possui como vizinhança os pontos W e E. E denota a direção leste e positiva de x, enquanto W a direção oeste e negativa de x. As linhas tracejadas mostram as faces do volume de controle.

Para o problema unidimensional em consideração consideraremos a espessura nas direções Y e Z como uma unidade, portanto o volume de controle em estudo é de
Δx X 1 X 1 . Se integrarmos a eq.(1) sob o volume de cotrole, temos:

(2) (k)e – (k)w + = 0
Para continuar com a discretização da equação, devemos assumir um perfil pressuposto ou uma fórmula de interpolação, dois perfis pressupostos são mostrados na figura 2.

Figura 2: Dois perfis pressupostos

O perfil passo a passo é mostrado à esquerda na figura 2, para esse perfil a inclinação dT/dx, não é definida nas faces do volume de controle (w,e). Um perfil que não sofre com essa dificuldade é o perfil linear por partes mostrado à direita na figura 2. Devemos assumir que a temperatura T em um ponto da malha, predomina no volume de controle em torno dele. Se avaliarmos as derivadas dT/dx,na eq.(2) pelo perfil linear por partes o resultado será:
(3) – + Sm .Δx = 0

Onde Sm é o valor médio de S sobre o volume de controle. Com isso podemos representar a forma padrão das nossas equações de discretização da seguinte forma:
(4) ap .Tp = ae .Te + aw .Tw + b

Onde: ap = ae + aw ; ae = ke /; ae = kw /; b = Sm .Δx;

Resolução de problemas de condução