Conceito de derivadas

Conceito de Derivada por R. Courant
O conceito de derivada, como o de integral, é de origem intuitiva. Suas fontes são (1) o problema da construção da tangente a uma curva dada num ponto determinado, e (2), a pesquisa de uma definição precisa, para a velocidade, num movimento arbitrário. A Derivada e a Tangente
Consideramos, em primeiro lugar, o problema da tangente. Seja P um ponto sobre uma curva dada (fig. 7). Definiremos a tangente a curva no ponto P, de acordo com a intuição comum, por meio do seguinte processo de limite. Marquemos, alem de P, um segundo ponto P1, sobre a curva. Façamos passa uma reta pelos dois pontos, reta esta secante a curva. Se o ponto P1 se mover sobre a curva, dirigindo-se para P, a secante tendera para uma posição limite, a qual é independente do lado pelo qual P1 se aproxima de P. A posição limite da secante é a tangente, e a afirmação de que tal posição limite existe equivale a hipótese de que a curva possui tangente definida ou direção definida no ponto P. (Empregamos a palavra "hipótese" porque efetivamente, fizemos uma. A hipótese da existência da tangente verifica-se nas curvas mais simples, mas, de forma alguma, pode ser generalizada para todas as curvas, ou mesmo para todas as curvas contínuas).
Umas vez que representamos a curva considerada por meio de uma função y=fx, surge o problema de representar analiticamente o processo geométrico de limite, utilizando a função fx. Imaginemos o ângulo que uma linha reta l faz com o eixo dos x, como sendo aquele de que a parte positiva do eixo deve girar na direção positiva da rotação, a fim de ficar paralelo, pela primeira vez à reta l. Seja α1 o ângulo que a secante PP1 faz com a parte positiva do eixo dos x e α o ângulo que a tangente forma com o mesmo eixo. Se pusermos de lado o caso da tangente perpendicular, temos limp→p1α1= α
Onde o significado dos símbolos é perfeitamente compreensível . Se x, y [=fx] e x1, y1 [=fx1] forem coordenadas dos pontos P e P1, respectivamente,