Combinação Linear

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U N I V E R S I D A

E S T Á C I O

D E

S Á

COMBINAÇÃO LINEAR
Sejam os vetores v1, v 2, . . ., v n do espaço vetorial V e os escalares a1, a2, . . ., an.
Qualquer vetor v  V da forma: v = a1v 1 + a2v 2 + . . . + anv n é uma combinação linear dos vetores v1, v 2, . . ., v n .
Exemplos
1) Seja V = IR² e os vetores u = (3, −1), v = (2, 4) e w = (0, 7).
a) O vetor (12, 3) é uma combinação linear dos vetores u, v e w pois:
(12, 3) = 2u + 3v − w.
b) O vetor (−1, −9) é uma combinação linear dos vetores u, v e w pois:
(−1, −9) = u − 2v + 0w.
c) O vetor (0, 0) é uma combinação linear dos vetores u, v e w pois:
(0, 0) = 0u + 0v + 0w.
2) No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau  2, o polinômio v = 7x² + 11x − 26 é uma combinação linear dos polinômios v1 = 5x² −3x + 2 e v2 = −2x² + 5x −8 pois: v = 3v1 + 4v2
Exercícios
1) Seja V = IR³ e os vetores u = (3, −1, 1), v = (1, 2, −1) e w = (2, −10, 6), verifique se w é combinação linear de u e v, isto é, se existem escalares x e y tais que xu + yv = w.
2) Considere, no IR³, os vetores u = (1, −3, 2) e v = (2, 4, −1).
a) Escreva o vetor w = (−4, −18, 7) como combinação linear dos vetores u e v.
b) Mostre que t = (4, 3, −6) não é uma combinação linear dos vetores u e v.
c) Calcule o valor e k para que o vetor s = (−1, k, −7) seja uma combinação linear dos vetores u e v.
3) Verifique se v = (3, 9, −4, −2) é uma combinação linear dos vetores u1 = (1, −2, 0, 3), u2 = (2, 3, 0, −1) e u3 = (2, −1, 2, 1). R: v = u1 + 3u2 −2u3.
4) Mostre que o vetor v = (3, 4)  IR² pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear dos vetores v 1 = (1, 0), v2 = (0, 1) e v 3 = (2, − 1). R: a = 3 − 2c e b = 4 + c, portanto, para cada valor de c obtém-se um valor para a e outro para b.

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5) Escreva o vetor v = (1, −2, 5) com combinação linear dos vetores u 1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3) e u3 = (2, −1, 1). R: v = −6u1 + 3u2 + 2u3
6) Verifique se o vetor v = (2, −5, 3)  IR³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores u = (1,