Combinação linear

Exercício 1
Verifique se o conjunto abaixo, com as operações definidas é um espaço vetorial:

u, v, w  V , u   v  w   u  v   w

u+(v+w) = (x1,y1)+((x2,y2) +(x3,y3))=
(x1,y1)+(x2+x3,0)=
(x1+(x2+x3),0)=
((x1+x2)+x3,0)=
(x1+x2,0)+(x3,0)=

(x1+x2,0)+(x3,y3)=

((x1,0)+(x2,0))+(x3,0)

((x1,y1)+(x2,y2))+(x3,y3)=
(u+v)+w

u+0 = u
(x1,y1)+(x0,y0)=(x1,y1)

(x1+ x0, 0)=(x1,y1)

x1+x0=x1

0 = y1

x0=0

y0=?
0  V  u  V , u  0  0  u  u

NÃO É ESPAÇO VETORIAL

Exercício 2
Verifique se o conjunto A, com as operações usuais, é um espaço vetorial.

Exemplo

SUBESPAÇO VETORIAL
Definição: Um subconjunto não vazio W  V , W   é dito subespaço vetorial real de V (espaço vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial real

considerando as operações restritas a ele.
Teorema: Um subconjunto não vazio W  V , W   é um subespaço vetorial real se e somente se:
i)
ii) iii) 0 W
u, v  W  u  v  W
u  W ,   R  u  W

Exemplo

Contra-Exemplo

0 W
u, v  W  u  v  W
u  W ,   R  u  W

Exemplo/ Exercício

Subespaços Vetoriais
Seja o Espaço Vetorial Real V ,  ,  e
U, W  V, U, W   dois subespaços vetoriais.
Proposição: A interseção de U  W é um subespaço vetorial de V ,  ,  .

Subespaços Vetoriais

Subespaços Vetoriais
Obs: 1) Note que a união de subespaços vetoriais não é um subespaço vetorial.
2) Todo espaço vetorial possui pelo menos dois subespaços, os quais são chamados de subespaços triviais. São eles:

U  0 , U  V

Subespaços Vetoriais
Proposição: Considere o conjunto dado por:
U  W  u  w u  U, w  W
Este conjunto é um subespaço vetorial de
V , chamado de Subespaço Soma.

Subespaços Vetoriais

Subespaços Vetoriais

Subespaços Vetoriais
Obs: Nestas condições temos que:

UW  WU

U  0  U

U  U  W, W  U  W

Exemplo

Exemplo

Subespaços Vetoriais
Definição: Seja V ,  ,  um espaço vetorial e sejam