GA CAP 03

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru

CAPÍTULO 3
DEPENDÊNCIA LINEAR

1 Combinação Linear r r r Definição: Seja {v1, v2 ,..., vn} um conjunto com n vetores. Dizemos que um vetor r u é combinação linear desses n vetores, se existirem escalares a1 , a2 ,..., an ∈ ℜ n r r r r r r tais que u = a1v1 + a2 v 2 + ... + anv n , ou seja, u = ai v i .

∑ i =1

r r r
Exemplo (1): Considere os vetores u = (−4,10,5) , v1 = (1,1,−2) , v2 = (2,0,3) e r v 3 = (−1,2,3) . r r r a) Escrever, se possível, o vetor u como combinação linear dos vetores v1 , v 2 e r v3 . r r r b) Escrever, se possível, o vetor u como combinação linear dos vetores v 2 e v 3 .
Solução:
r r r r
a) Para que u seja combinação linear dos vetores {v1 , v 2 , v 3 } , devem existir r r r r escalares α, β, γ ∈ ℜ tais que u = αv1 + β v 2 + γv 3 . Então:

α + 2β − γ = −4

(−4,10,5) = α(1,1,−2) + β(2,0,3) + γ(−1,2,3) ⇒ α + 2γ = 10
. Resolvendo o sistema
− 2α + 3β + 3γ = 5

r r r r linear vamos obter: α = 2, β = −1 e γ = 4 . Portanto: u = 2v1 − v2 + 4v3 . r r r b) Para que u seja combinação linear dos vetores v 2 e v 3 , devem existir escalares r r r m e n ∈ ℜ tais que u = mv 2 + nv 3 . Então:

2m − n = −4

(−4,10,5) = m(2,0,3) + n(−1,2,3) ⇒ 2n = 10
.
3m + 3n = 5


Da

segunda

equação

obtemos

n = 5 . Substituindo nas outras duas obtemos m = 1 e m = − 10 . O que é uma
2
3 contradição. Logo o sistema linear é impossível e não admite solução real. Portanto, r r r não existem escalares m e n ∈ ℜ tais que u = mv 2 + nv 3 , ou seja, não é possível r r r escrever o vetor u como combinação linear dos vetores v 2 e v 3 .

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru

2 Vetores LI e LD r r r Definição: Dizemos que os vetores v1, v2 , ..., vn são linearmente independentes r r r r
(vetores LI) se a expressão a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 se verifica somente se os escalares a1, a2 ,..., an ∈ ℜ