Centro De Massa

Cálculo III
Centro de Massa e Momento de Inércia de Massa

Julhiana Santa Rosa de Carvalho

Orientador
CARLOS ROBERTO BASTOS SOUZA
ARACAJU – SE
MARÇO 2015

UNIVERSIDADE TIRADENTES
UNIDADE FAROLÂNDIA

Julhiana Santa Rosa de Carvalho

Trabalho apresentado na Universidade Tiradentes, como pré-requisito da disciplina de laboratório de Cálculo III, ministrada pelo Prof. Carlos Roberto Bastos Souza em 2015/21.

Centro de Massa
Supondo que um sistema finito seja composto por partículas =, ),=, ), ...,=, ) e com massa igual a , sendo que =1, ..., n, respectivamente. Tendo isso, passamos para a Física, lembrando que os momentos de massa desse sistema em relação aos eixos x e y, são dados por: e
Nesse sistema, o centro de massa é o ponto (, ), que nesse caso, é considerado a massa total do sistema estivesse concentrada nesse ponto. Então:
= e =
Ou
= ou = .
Considerando ao invés de um sistema finito de partículas uma lamina plana , com uma densidade superficial de massa dada por uma função contínua e positiva δ, encontramos uma partição de algum retângulo contendo , obtendo assim subretângulos . Escolhemos (,) ∈ . Tendo isso, a massa de pode ser aproximada por δ(,)△, onde δ(,)= 0 se δ(,) ∉ . Logo ≃ δ(,)△e ≃ δ(,)△.
A partir dessa equação podemos definir, então, e por e = .
O centro de massa (, ) da lâmina é definida por
= e =
Devemos observar também a seguinte questão. Se δ=, sendo uma constante, o ponto (, ) é dito centroide e temos as determinadas fórmulas
= e =
Momento de Inércia de massa
Tendo uma lâmina em relação a um eixo podemos calcular seu momento de inércia a partir de

Onde é a distância de ao eixo .
Assim, os momentos de inércia de em relação aos eixos , respectivamente, são dadas por e
O momento de inércia polar em relação à origem é dada por

Exemplo: Determine o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo x, da região , limitada por , sendo .