cauculo

Ensino Superior

Cálculo 1
2.1- Regras de Derivação
Amintas Paiva Afonso

1. REGRAS DE DERIVAÇÃO
Considere u e v funções deriváveis de x, com k  IR e n  IR.
As principais regras de derivação e derivadas das principais funções elementares segundo a Regra da Cadeia são:

Cálculo 1 - Derivadas
Regras de derivação
R1 - Derivada de uma função constante
Se k é uma constante e f(x) = k para todo x, então f’(x) = 0.
Exemplo
Seja f(x) = 5  f’(x) = 0.
Se aplicarmos a definição:

f ( x1  x)  f ( x1 ) f ' ( x1 )  lim
x  0
x
5 5 f ' ( x1 )  lim
 lim 0 0
x  0 x
x  0

Cálculo 1 - Derivadas
R2 - Derivada de uma função potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então: f’(x) = n. xn-1
Exemplo: Seja f(x) = x5  f’(x) = 5x4.
R3 - Derivada de uma função multiplicada por k
Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida por g(x) = k.f(x), então: g’(x) = k.f’(x).
Exemplo: f(x) = 8x2  f’(x) = 8.(2x) = 16x

Exemplos
Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2, no ponto de abscissa 1/2.
2

y(ºC)

y  f ( x0 )  f ' ( x).( x  x0 )

y

1
1
1 y  f    f '  . x  
2
 2
 2
y

1/4

 x0 = 1
2

x

x(h)

Por tan to :

1
1 1 onde : f     
4
 2  2

1
Cálculo de f '  
 2 f ' ( x) 2 x
1
1 f '   2.  1
 2
 2

1
1
 y    1. x    4x - 4y - 1 0
2
 4


Exemplos
Exemplo 2 – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa 1. y Chamando de m1 o coeficiente angular da reta normal n, sua equação é :

Substituindo este valor em (2) :

y  f (1) m1.( x  1)

m1 -

(1)

onde : f 1 12  1 2

Levando este valor de m1 em (1) :

Cálculo em m1 :

1
( x  1) 
2
x  2y - 5 0 y  2 

Como a reta normal é perpendicular à reta tangente, chamando de m o coeficiente angular da tangente, temos :

f(1) = 2