cauculo
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1893.18 – EXERCÍCIOS – pg. 112
1. Investigue a continuidade nos pontos indicados
sen x
,x≠0
em x = 0 .
(a) f ( x ) = x
0 , x = 0
lim x →0
sen x
= 1 ≠ f (0 ) = 0 . Portanto f(x) não é contínua em x = 0 . x (b) f ( x ) = x − x em x = 0 .
lim f ( x ) = lim ( x − x) = lim 0 = 0 .
+
+
x →0 +
x →0
x →0
lim f ( x ) = lim ( x + x ) = lim 2 x = 0 .
−
−
x →0 −
x →0
x →0
lim f ( x ) = 0 = f (0 ) . Portanto f(x) é contínua em x = 0 . x →0
x3 − 8
(c) f ( x ) = x 2 − 4
3 ,
,x≠2
em x = 2 .
x=2
(
)
(x − 2) x 2 + 2 x + 4 = 12 = 3 = f (2) . Portanto, a função é contínua em x3 − 8
= lim x →2 x 2 − 4 x→2 4
(x − 2)(x + 2) x = 2.
lim
(d) f ( x ) =
lim = x →2
1 sen 1
1 sen 1
= x em x = 2 . x 1 sen 1
= f (2 ) . Portanto, a função é contínua em x = 2 .
2
x 2 sen 1
,x≠0
x em x = 0 .
(e) f ( x ) =
0 , x=0
Conforme exercício 16 da lista 3.6 item (c), temos
190
lim x 2 sen 1 = 0 . Como f(0)=0, a função é contínua em x = 0 . x x →0
1 − x 2 , x < 1
(f) f ( x ) = 1 − x , x > 1 em x = 1 .
1 , x =1
(
)
lim f ( x ) = lim 1 − x 2 = 0
x →1−
⇒ lim f ( x ) = 0 ≠ f (1) = 1 . x →1 lim f ( x ) = lim (1 − x ) = 0
+
+ x →1 x →1
Portanto a função não é contínua em x = 1 . x →1−
x2 − 4
,x≠2
em x = 2 .
(g) f ( x ) = x − 2
0
,x=2
lim x→2 (x − 2)(x + 2) = 4 ≠ f (2) = 0 . Portanto, a função não é contínua em x = 2 . x2 − 4
= lim x − 2 x →2 x−2 x 2
(h) f ( x ) =
1 − x
, x ≥ −1
, x < −1
em x = −1 .
lim f ( x ) = lim+ x 2 = 1
x →−1+
x →−1
lim f ( x ) = lim− (1 − x ) = lim− (1 + x ) = 0 ∴ ∃ lim f ( x) e a função não é contínua em x=-1.
/
x →−1−
x → −1
(i) f ( x ) =
x 2 − 3x + 7 x2 +1
(x
x →−1
x →−1
)
lim x →2
2
em x = 2 .
− 3x + 7 4 − 6 + 7
=
= 1 = f (2 ) . Portanto a função é contínua em x = 2 . x2 +1
4