capitulo 6, volume 2 guidorizzi

CAPÍTULO 6
Exercícios 6.3
1. Em notação vetorial:
(x, y) ϭ (x0, y0) ϩ␭(a, b) ␭ ʦ ‫ ޒ‬é a equação da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e é r paralela à direção do vetor v ϭ ( a, b) .
Portanto,
(x, y) ϭ (1, 2) ϩ ␭(Ϫ1, 1), ␭ ʦ ‫ ޒ‬é a equação procurada. r r
3. 3x ϩ 2y ϭ 2. Então, u ϭ (Ϫ2, 3), por ser ortogonal a n ϭ (3, 2), é paralelo à reta dada. r
6. b) 3x Ϫ y ϭ 3 é perpendicular à direção do vetor n ϭ (3, Ϫ1) .

7. Equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, Ϫ2) e é paralela à reta 2x ϩ y ϭ 3, é r perpendicular à direção do vetor n ϭ (2, 1) . Logo, é paralela à direção do vetor r u ϭ (Ϫ1, 2) .
Logo, (x, y) ϭ (1, Ϫ2) ϩ ␭(Ϫ1, 2), ␭ ʦ ‫.ޒ‬ r 8. A reta 2x ϩ y ϭ 3 é perpendicular à direção do vetor n ϭ (2, 1) . r Logo, a reta procurada é paralela à direção do vetor n ϭ (2, 1) .
Então, (x, y) ϭ (1, 2) ϩ ␭(2, 1), ␭ ʦ ‫ ,ޒ‬é a reta procurada.

9. a) Equação do plano que passa pelo ponto P0 ϭ (x0, y0, z0) e que é perpendicular à r direção do vetor n ϭ ( a, b, c) π (0, 0, 0) é (a, b, c) · [(x, y, z) Ϫ (x0, y0, z0)] ϭ 0.
Portanto:
(2, 1, 3) · [(x, y, z) Ϫ (1, 1, 1)] ϭ 0, ou seja,
(2, 1, 3) · (x Ϫ 1, y Ϫ 1, z Ϫ 1) ϭ 0 Þ 2x Ϫ 2 ϩ y Ϫ 1 ϩ 3z Ϫ 3 ϭ 0 Þ
Þ 2x ϩ y ϩ 3z ϭ 6. r 10. a) O vetor n ϭ (1, 2, Ϫ1) é perpendicular ao plano x ϩ 2y Ϫ z ϭ 3. Logo a equação vetorial da reta que passa por (0, 1, Ϫ1) e é perpendicular ao plano x ϩ 2y Ϫ z ϭ 3 é
(x, y, z) ϭ (0, 1, Ϫ1) ϩ ␭(1, 2,Ϫ1), ␭ ʦ ‫,ޒ‬ r r r r
12. u ٙ v é ortogonal a u e a v , daí

r r r i j k r r r r u ٙvϭ 1
1 1 ϭ 3i Ϫ 3k
1 Ϫ2 1

A equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, 2, Ϫ1) e é paralela à direção do vetor r r r r u ٙ v ϭ 3i Ϫ 3k é

(x, y, z) ϭ (1, 2, Ϫ1) ϩ ␭(3, 0, Ϫ3), ␭ ʦ ‫.ޒ‬ r 13. a) u ϭ (1, 2, Ϫ1)

r v ϭ (2, 1, 2). Temos

e

r r r i j k r r r r r u ٙ v ϭ 1 2 Ϫ1 ϭ 5i Ϫ 4 k Ϫ 3k .
2 1
2
r r r r u ٙ v é ortogonal a u e a v. r r
Logo, u ٙ v ϭ (5, Ϫ4, Ϫ3) é o vetor procurado.

r r r i j k r r r r r
14. b) u ٙ v ϭ 2