Cap

CAPÍTULO 12
Exercícios 12.1
1. a) z ϭ sen xy, x ϭ 3t e y ϭ t2.
1.º Processo: z ϭ sen (3t3) e daí dz ϭ 9t 2 cos (3t 3 ). dt 2.º Processo: dz dt
∂z
∂x dz dt dz dt dz dt

∂z dx ∂z dy . Temos ϩ ∂x dt
∂y dt dx ∂z dy ϭ y cos xy; ϭ 3; ϭ x cos xy; ϭ 2t e daí dt ∂y dt ϭ

ϭ 3 y cos xy ϩ x (cos xy) ◊ 2t , ou seja, ϭ 3t 2 cos 3t 3 ϩ 6t 2 cos 3t 3 e, portanto, ϭ 9t 2 cos 3t 3.

b) z ϭ x2 ϩ 3y2, x ϭ sen t e y ϭ cos t.
1.º Processo: z ϭ sen2 t ϩ 3 cos2 t e daí dz ϭ 2 sen t cos t Ϫ 6 sen t cos t ϭ Ϫ 4 sen t cos t. dt 2.º Processo: dz ∂z dx ∂z dy . Temos ϭ ϩ dt ∂x dt
∂y dt
∂z
dx
∂z
dy ϭ 2 x; ϭ cos t ; ϭ 6 y; ϭϪsen t. Segue que
∂x
dt
∂y
dt

dz ϭ 2 x cos t Ϫ 6 y sen t , ou seja, dt dz ϭ 2 sen t cos t Ϫ 6 sen t cos t e, portanto, dt dz ϭϪ4 sen t cos t . dt 4. f(t2, 2t) ϭ t3 Ϫ 3t, dx dt df dt

x ϭ t2 e y ϭ 2t. dy df ϭ 2t ; ϭ2 e ϭ 3t 2 Ϫ 3. Temos dt dt
∂f dx ∂f dy . ϭ ϩ
∂x dt
∂y dt

Em (x, y) ϭ (1, 2),
3t 2 Ϫ 3 ϭ 2t

t2 ϭ 1 e 2t ϭ 2. Portanto, t ϭ 1.

∂f
∂f
(1, 2) ϩ 2
(1, 2)
∂x
∂y

∂f
∂f
(1, 2) ϩ 2
(1, 2).
∂x
∂y
∂f
∂f
(1, 2) ϭϪ
(1, 2).
Ou seja:
∂x
∂y
0ϭ2

5.
a) f (3 x, x 3 ) ϭ arctg x, para todo x. Segue que, para todo t, temos, também,

f (3t, t 3 ) ϭ arctg t. Derivando em relação a t, d d f ( x, y)] ϭ
[
[arctg x ], onde x ϭ 3t e y ϭ t3. dt dt
Daí,
∂f dx ∂f dy 1
( x, y) ϩ ( x, y) ϭ , para todo t. dt dy dt 1 ϩ t2
∂x

Para t ϭ 1,
3

∂f
∂f
1
(3, 1) ϩ 3
(3, 1) ϭ .
∂x
dy
2

Tendo em vista que

∂f
Ϫ11
∂f
(3, 1) ϭ
.
(3, 1) ϭ 2, resulta
∂x
6
∂y

b) Equação do plano tangente

91

∂f
∂f
( x0 , y0 ) ( x Ϫ x0 ) ϩ ( x0 , y0 )( y Ϫ y0 )
∂x
∂y
␲
Em (3, 1, f(3, 1)), x0 ϭ 3, y0 ϭ 1 e f(3, 1) ϭ arctg 1 ϭ
.
4
Substituindo:
␲
∂f
∂f z Ϫ ϭ (3, 1) ( x Ϫ 3) ϩ (3, 1) ( y Ϫ 1) e, portanto,
∂x
∂y
4
␲
11
z Ϫ ϭϪ ( x Ϫ 3) ϩ 2 ( y Ϫ 1) .
4
6

z Ϫ f ( x0 , y0 ) ϭ

2
2
9. Seja g(t) ϭ f Ê t, ˆ , t Ͼ 0. Considerando x ϭ t e y ϭ , temos
Ë t¯ t ∂f dx
∂f dy dx dy
2
gЈ(t ) ϭ ϩ , onde ϭ1 e ϭϪ 2 , ou seja,
∂x dt
∂y dt dt dt t gЈ(t ) ϭ

∂f
2 ∂f
( x, y) Ϫ
( x, y). Daí, para todo t Ͼ 0,
∂x
t 2 ∂y

gЈ(t ) ϭ

1 t È ∂f
2 ∂f ù 1