Cap

CAPÍTULO 17
Exercícios 17.2
1. a) Sejam
Ê 1ˆ
Ê 3ˆ r Á 1˜ r 3˜
Á
e bϭ v1 ϭ
ÁÁ 1˜˜
ÁÁ 2˜˜
Ë 2¯
Ë 3¯

Solução LSQ:

r r b и v1
3 и 1 ϩ 1 и 3 ϩ 2 и 1 ϩ 3 и 2 14 xϭ r r ϭ ϭ v1 и v1
1и1ϩ 3 и 3ϩ1и1ϩ 2 и 2
15
ÏÔ x ϭ 3t
2. Sejam P ϭ (2, 1, 3) e r: Ì y ϭ t .
ÔÓ z ϭ 2t

O ponto procurado é (3t1, t1, 2t1), onde t1 é a solução LSQ do sistema
ÏÔ3t ϭ 2
Ìt ϭ1
ÔÓ2t ϭ 3. t1 ϭ

(3, 1, 2) и (2, 1, 3)
13
ϭ
.
(3, 1, 2) и (3, 1, 2)
14

ÏÔ x ϭ t ϩ 1
3. Sejam P ϭ (1, 1, 1) e r: Ì y ϭ 2t
ÔÓz ϭ t ϩ 2

O ponto procurado é (t1 ϩ 1, 2t1, t1 ϩ 2), onde t1 é a solução LSQ do sistema
ÏÔ t ϩ 1 ϭ 1 ou seja
Ì 2t ϭ 1
ÔÓt ϩ 2 ϭ 1 t1 ϭ

ÏÔ t ϭ 0
Ì2t ϭ 1
ÔÓt ϭ Ϫ1.

(1, 2, 1) и (0, 1, Ϫ1)
1
ϭ .
(1, 2, 1) и (1, 2, 1)
6

Exercícios 17.3
1.
r

Ê1ˆ r
Á ˜
Ë1¯

Ê 1ˆ

r

Ê 2ˆ

a) Sejam v1 ϭ Á1˜ , v2 ϭ ÁϪ1 ˜ e b ϭ Á 1˜
Á ˜
Ë 2¯

Á ˜
Ë 3¯

r r Os vetores v1 e v2 são l.i.: o sistema será compatível determinado.
Escrevendo S na forma vetorial:

r r r x v1 ϩ y v2 ϭ b .
A solução LSQ de S é a solução do sistema auxiliar: r r r r r r
Ï x v1 ◊ v1 ϩ y v2 ◊ v1 ϭ b ◊ v1 r r
S.A. Ì r r r r
Ó x v1 ◊ v2 ϩ y v2 ◊ v2 ϭ b ◊ v2 r r

r

rr

r

r

r

r r

onde v1 ◊ v1 ϭ 3; v1 ◊ v2 ϭ 2; b v1 ϭ 6; v2 ◊ v2 ϭ 6 e b ◊ v2 ϭ 7
3x ϩ 2 y ϭ 6
S.A. ÏÌ
Ó2 x ϩ 6 y ϭ 7

Ê 11 9 ˆ cuja solução é Ë , ¯
7 14

Ê 11 9 ˆ
Solução LSQ é Ë , ¯ . [Não atende ao sistema no sentido habitual.]
7 14
No sentido habitual o sistema proposto não admite solução (da Álgebra Linear: o posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da matriz aumentada).
Ê 2ˆ
1
b) Seja o sistema: x Á ˜ ϩ y
ÁÁ 1˜˜
Ë 3¯

Ê 1 ˆ Ê 3ˆ
Á Ϫ1 ˜ ϭ Á 0˜ .
ÁÁ 2 ˜˜ ÁÁ 3˜˜
Ë Ϫ2 ¯ Ë 1¯

Na forma vetorial:

r r r x v1 ϩ y v2 ϭ b r r r r r r
Ï x v ◊ v ϩ y v2 ◊ v1 ϭ b ◊ v1 r r
S.A. Ì r 1 r 1 r r
Ó x v1 ◊ v2 ϩ y v2 ◊ v2 ϭ b ◊ v2 r r onde vr1 ◊ vr1 ϭ 15; vr1 ◊ vr2 ϭ Ϫ3; b ◊ vr1 ϭ 12; vr2 ◊ vr2 ϭ 10 e b ◊ vr2 ϭ 7.

15 x Ϫ 3 y ϭ 12
,
Portanto, S.A.: ÏÌ
ÓϪ3 x ϩ 10 y ϭ 7

cuja solução é (1, 1).

158

A solução, no sentido LSQ, é (1, 1), que também é solução do sistema no sentido habitual.
c) Seja o