Calculo

Aplicações das EDO’s - Alguns exemplos1
1) [Cálculo, H. Anton, Seção 9.1 - Exemplo 7] No instante t = 0, um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água.
Suponha que água salgada contendo duas libras de sal por galão seja acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto e que a solução misturada seja drenada do tanque à mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque após 10 minutos.
Solução: Seja y(t) a quantidade de sala (em libras) após t minutos. É dado que y(0) = 4, e queremos encontrar y(10). Começaremos por encontrar uma equação diferencial que seja satisfeita por y(t). Para fazer isso, observamos que dy/dt, que é a taxa de segundo a qual a quantidade de sal no tanque está variando com o tempo, pode ser expressa como dy = taxa de entrada − taxa de saida dt onde a taxa de entrada é aquela segundo a qual o sal entra no tanque e a taxa de saída é aquela segundo a qual o sal deixa o tanque.
A taxa segundo a qual o sal entra no tanque é taxa de entrada = (2 lb/gal˜oes) · (5 gal˜oes/min) = 10 lb/min.
Uma vez que a água salgada entra e sai do tanque a uma mesma taxa, o volume no tanque permanece inalterado em 100 galões. Assim decorridos t minutos, o tanque contém y(t) libras de sal por 100 galões de água, e portanto a taxa segundo a qual o sal deixa o tanque naquele instante é taxa de saida =

y(t) y(t) lb/gal˜oes · (5 gal˜oes/min) = lb/min. 100
20

Portanto, podemos escrever dy/dt como y dy
= 10 − dt 20

ou

dy y +
= 10 dt 20

que é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem cujo fator integrante é e 1/20dt = et/20 .
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Prof. Marcelo Danesi - [e-mail]

Resolvendo a equação como vimos na aula passada, chegamos que
(et/20 y)′ = 10et/20 e portanto a solução geral da EDOL é y(t) = 200 + Ce−t/20 .
Usando que y(4) = 0, substituimos na igualdade acima encontrando
C = −196 e y(t) = 200 − 196e−t/20 .
O PVI fica resolvido e podemos calcular que y(10) = 200