calculo

Máximos e Mínimos
Compactos
Universidade Federal de Goiás
Cálculo 2

Introdução
Para

muitos problemas que ocorrem na prática é importante determinar os extremantes em um subconjunto A de Df

O

teorema Weierstrass, ilustrado a seguir, fornece condições para a existência de tais extremantes

Teoria
Conjunto

compacto:

◦ Seja A um subconjunto de R2 e o seu complementar {(x,y) є R2 | (x,y) э
A},dizemos que A é um subconjunto compacto se A for fechado e limitado

Como no exemplo a seguir:

Teoria de Weierstrass

Uma função contínua no conjunto A fechado e limitado. Então, existem pontos de máximo e mínimo absoluto de f em A, isto é, existem x0, x1 є A tais que f(x0,y0) ≤ f(x,y)
≤ f(x1,y1) para todo x є A

Teoria
Tal

teorema nos garante que se f for contínua em A e A compacto, então existirão pontos (x1, y1) e
(x2, y2) em A tais que f(x1,y1) é o valor mínimo e f(x2,y2) é o valor máximo de f em A

Teoria
Supondo

que f admita derivadas parciais nos pontos interiores de
A ...
Determinar os pontos críticos de f que estão no interior de A
Determinar os valores máximo e mínimo de f na fronteira de A
Comparamos então os valores que f assume nos pontos críticos com o valor máximo de f na fronteira de A: o maior destes valores será o valor máximo de f em A

Exercício

Resolvendo...
Volume: X YZ 1)
Área: A= XY+2XZ+2YZ
2)

A

empresa produz diariamente
100 caixas. Sabe-se que o custo de produção para a caixa é de
R$2,50 e o preço de venda de cada embalagem é de R$5,00.
Pede-se o lucro obtido pela empresa ao longo de um mês

Número

de caixas produzidas:

◦ por dia  100 caixas/dia
◦ por mês 20 dias
◦ Total de 2000 caixas/mês
Custo

de produção mensal:

◦ R$2,50x2000= R$5000,00 mês
Receita

obtida pelas vendas da

caixa:
◦ R$5,00x2000= R$10000,00 mês

Lucro

mensal= Receita mensal –
Custo de Produção Mensal
Lucro= R$10000 – R$5000
Lucro=