Calculo

rranjos simples e com repetição - exemplos e questões
Artigo sobre arranjo simples e com elementos repetidos com exemplos e questões de vestibulares para um melhor aprendizado.

Arranjo simples
Arranjo simples de n elementos tomados r a r, onde n>=1 e r é um número natural, é qualquer ordenação de r elementos dentre os nelementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos.
Por exemplo, os agrupamentos de dois formados pelos elementos do conjunto A = {1, 2, 3} são: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2).
Diferentes pela natureza: (1,2) e (2,3)
Pela ordem dos elementos: (1,3) e (3,1), (1,2) e (2,1)

Nesse caso, o número de arranjos é indicado por A3,2. Os arranjos podem ser calculados utilizando dois métodos, o princípio fundamental da contagem ou pela expressão:
A^n_r = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}
Onde n\,\! é o total de elementos e r\,\! o número de elementos escolhidos.

Exemplos de arranjos simples:

Exemplo 1:

Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente da Câmara Federal, candidataram-se dez deputados federais. De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?

Temos dez candidatos para ocuparem duas vagas, dessa forma, temos o seguinte arranjo A10,2.

A escolha pode ser feita de 90 maneiras distintas.

Exemplo 2:

Numa corrida entre 10 competidores premia-se os dois primeiros com dois chocolates idênticos. Quais são as possibilidades de premiação?

Nesse caso, a ordem não é importante, então basta ver de quantos modos pode-se terminar a corrida. Neste caso, basta calcular:

arranjo4

Que é o número de maneiras de dois dos dez competidores ganhar a corrida.

Exemplo 3:

Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula:
A n , p = n! (n – p)!

Sendo que o