Calculo

Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 254 – 256.

CAPÍTULO 7

7.8 - EXERCÍCIOS pág. 254 - 256
1. Calcular

  x

 y 2  dx dy onde R é a região da Figura 7.32.
2

2

R

y
2

1 x -2

-1

1

2

-1

-2

Temos:




6

r
 r  r dr d  
 
 6
2 2

2



2

2

0



2

2. Calcular

2

  senx

2



2

0

64 d 

6

2






64  64  32
    .
6 2 6 2 3

2

 y 2  dx dy onde R é a região da Figura 7.33.

R

y
2

1 x -2

-1

1

2

-1

-2

Temos:

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Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 254 – 256.
 2

 sen r



1
 r dr d    cos r 2
2


2

0 0



2

0

3. Calcular



1
1
 1
 1 d     cos 4   d    cos 4   .
2
2
2
 2
0

0

dx dy
, onde R é a região da Figura 7.34.
1  x2  y2

 
R

y
2

1 x -2

-1

1

2

-1

-2

Temos para a região do primeiro quadrante:




4 2

4





1 r dr d
2 
   ln 1 r 
  1 r
2

2

0 0





2

4

1 d   ln 5
2
0

0

0

1 d  ln 5
2

4



1 

  ln 5  ln 5
2 4
8

0

Para a região do terceiro e quarto quadrante temos:
2 2

r dr d
  1  r2 
 0





1
2 
  ln 1 r 

2


2

Portanto, a resposta final fica:

a

d 

2

1

 2 ln 5


d 


2

ln 5.

0

5 ln 5 .
8

Observe que também poderia ter sido calculada só uma integral com r variando de 0 a 2 e

 variando de  a

4. Calcular



4

.

dx dy

  1  x
R

2

 y2 