Calculo
480 palavras
2 páginas
2234.10 – EXERCÍCIOS – pg. 132
Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.
1.
f ( x) = 2 | x − 3 | .
Temos:
2 x − 6, x ≥ 3
− 2 x + 6, x < 3 f ′ (3+ ) = lim+
∆x → 0
2 (3 + ∆x) − 6 − 2 . 3 + 6
=2
∆x
− 2 (3 + ∆x) − 6 + 2 . 3 − 6
= − 2.
∆x
Segue o gráfico da função
f ′ (3− ) = lim−
∆x → 0
f(x)
4
3
2
1
x
-2
2.
-1
1
, se x < 1
x
f ( x) =
.
2 x − 1, se x ≥ 1 f ′ (1+ ) = lim+
2 (1 + ∆x) − 1 − 2 .1 + 1
= 2.
∆x
f ′ (1− ) = lim−
(1 + ∆x) − 1
= 1.
∆x
∆x →0
∆x → 0
Segue o gráfico da função
2
3
4
5
224 f(x) 4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
3. f ( x) =| 2 x + 4 | +3.
Temos a função reescrita:
2 x + 4 + 3 = 2 x + 7 se x ≥ −2 f ( x) =
− 2 x − 4 + 3 = −2 x − 1 se x < −2 f ′ (−2 + ) = lim+
2 (−2 + ∆x) + 7 − 2 . (−2) − 7
= 2.
∆x
f ′ (−2 − ) = lim−
− 2 (−2 + ∆x) − 1 + 2 .(−2) + 1
= − 2.
∆x
∆x → 0
∆x → 0
Segue o gráfico da função f(x) 5
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
225
4.
1 − x 2 , | x | > 1 f ( x) =
.
, | x | ≤1
0
f ′ (−1+ ) = lim+
∆x → 0
0−0
= 0.
∆x
− 1 − (−1 + ∆x) 2 − 1 + (−1) 2
= 2.
∆x → 0
∆x
1 − (1 + ∆x) 2 − 1 + 12
= − 2. f ′ (1+ ) = lim+
∆x → 0
∆x
0 f ′ (1− ) = lim−
= 0.
∆x → 0 ∆x
Segue o gráfico da função f ′ (−1− ) = lim−
(
)
f(x)
1
x
-2
-1
1
-1
-2
-3
5.
2 − x 2 , x < −2
f ( x ) = − 2
| x | ≤ 2.
2 x − 6, x > 2
−2+2
= 0.
∆x
2 − (−2 + ∆x) 2 − 2 + (−2) 2
′ (−2 − ) = lim− f =4
∆x → 0
∆x
2 (2 + ∆x) 2 − 6 − 2 x + 6 f ′ (2+ ) = lim+
=2
∆x → 0
∆x
f ′ (−2 + ) = lim+
∆x → 0
2
226
2−2
= 0.
∆x → 0
∆x
Segue o gráfico da função
f ′ (1− ) = lim−
f(x)
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
6.
x 2 − 1, se
Seja f ( x) =
2
1 − x , se
a)
Esboçar o gráfico de f .