Calculo

MÉTODO do PONTO FIXO
É talvez o método mais simples e encontra-se na base de outros métodos. A ideia principal consiste em estabelecer uma equivalência adequada: f(x) = 0  x = g(x) e a partir daqui, Escolher uma iterada inicial x0 | Iterar xn+1 = g(xn ) |
Considerando g contínua, se o método convergir, converge para um certo z (a que chamamos ponto fixo de g ) tal que: z = g(z) este ponto z, pela equivalência estabelecida, será uma raiz da equação, ou seja f(z) = 0.
Geometricamente, podemos ter as seguintes situações:

.

Definição:
Uma função g contínua em [a, b] diz-se Lipschitziana se existir um L > 0 tal que :
| g(x) - g(y) | < L | x - y | ,  x, y  [a, b]
Se L < 1 a função diz-se Contractiva.

Proposição:
Se g é uma função diferenciável em [a, b], e temos |g'(x)| < L < 1, para x em [a, b], então a função g é contractiva nesse intervalo. dem: Usando o T. Lagrange, sabemos que, para quaisquer x, y em [a,b]
| g(x) - g(y) | = |g'()| |x-y| , para um certo  em ]x, y[  [a, b] concluimos, aplicando a hipótese.

Teorema (do ponto fixo num intervalo limitado).
Seja g uma função contínua em [a, b].
Se g for contractiva em [a, b], e se g([a, b]) [a, b] , então: * g tem um e um só ponto fixo z em [a,b] * a sucessão xn+1 = g(xn) converge para esse ponto fixo z, dado qualquer x0 em [a, b]. * temos ainda as seguintes majorações de erro: * | z - xn | < Ln | z - x0 | * | z - xn | < 1/(1- L) | xn+1 - xn | * | z - xn | < Ln/(1- L) | x1 - x0 | dem:  Existência (de ponto fixo)
Consideramos uma função auxiliar h(x) = g(x) - x , contínua, como g([a, b])  [a, b] temos g(a) > a, g(b)< b assim h(a) h(b) < 0.
Logo, pelo T.Valor Intermédio, existe um z : h(z) = 0, ou seja g(z)=z.
 Unicidade (do ponto fixo)
Supondo que g é contractiva e z e w são pontos fixos de g em [a,b] , temos:
| z - w | = | g(z) - g(w) | < L |z - w|, logo (1 - L) | z - w | < 0 e como L