Calculo I

LIMITES DE FUNÇÕES

Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número , exceto possivelmente no próprio. Então, diz-se que o limite de quando tende a é , e representa-se por

se para todo há um número correspondente tal que sempre que , isto é, se .

Exemplo: Provar que
Solução:

(a) Encontrar um valor para :

Uma análise preliminar do problema indica que se , deve encontrar-se um tal que sempre que , mas sempre que , isto é, sempre que , logo .

(b) Prova:
Por tanto, dado , escolhe-se , e se , então,

Assim sempre que , por tanto

Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, donde

Exemplos:
a)

b)

Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função

, com , isto é, Indeterminação,

estudando-se esta função, tem-se que o domínio de abrange todos os números reais, com exceção de que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja, .
Assim,

Desta forma, tem-se que ,

Exercícios: Indeterminação, onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto. Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja, Em , o ponto deve ser excluído do gráfico, pois , pois o domínio de é: e tem como imagem
.

3.1 - Propriedades dos Limites

1)

2) e é uma constante

3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) e
10) Indeterminações de limites:

Exemplos:

1)
2) Indeterminação

Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se

Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é, (Baskara)