Calculo I Deriva O Implicita 1

UNIFACS – CURSOS DE ENGENHARIA
CÁLCULO I – maio/2015
Prof. Adelmo R. de Jesus
Derivada de Expressões na Forma Implícita
A Forma Implícita:
Nem toda função (ou expressão matemática) aparece na forma explícita y=f(x). Por exemplo, na expressão x2 y3+ 3xy = 2 dizemos que a variável y está implicitamente dada em função de x, ou seja, y é dependente de x, embora esta relação não se expresse de forma clara.
Em vários casos precisamos obter a derivada de funções y dadas na forma implícita F(x, y)=c, sem que explicitemos a variável y.
O processo de derivação na realidade já foi visto, pois é essencialmente o uso da Regra da Cadeia, observando que y é uma função de x.
EXEMPLOS:
Expressão

Derivada da expressão em relação a variável x

x +y =2

3x2+2y  y´=0

sen(y) + x=y2

cos(y)  y´ + 1= 2y y´

3x + ey = 6

3 + ey  y’ = 0

x3  y2=4x+1

3x2  y2 + x3  2y y’=4

3

2

x2  1
 3x  1 y 2x  y  (x 2  1)  y' y2  3x

tg x +3y2 = ln(2)

sec2x + 6yy’ = 0

x2y = 4

2xy + x2 y’ = 0

xy=2

y+xy´=0

1. Dadas as expressões na forma implícita, complete a tabela abaixo com suas derivadas:
Expressão
2x3 – 3y2 + 2y = 1 x2 + x +2y3=4x+y sen(y) + cos(xy)=x2
3x + x2ey =senx
3x2  y3 + x tg(y)=3y

y2  3 x2 3

2xsen(y) + ln(x2 ) -2y3 = 1 x2y + y2 = 4x x2 ln(y)+2x=1

Derivada da expressão em relação a variável x

-9

dy
, e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: dx dy
8x  5 dy (Resposta:
; y ( P)  1 )

 5x  2 ; no ponto P (0 ,-1 ) dx 4y 3  3 dx 2. Calcule a expressão para
a)

y 4  3y  4x 2

b)

y-x-

1 dy  s en(y) 0 ; no ponto de ordenada
4
dx
2

(Resposta: y  

4
; y (P)  1 )
4  c osy

Exercícios:
1. Determine a equação da reta tangente:
a) ao círculo x2 + y2 = 5 no ponto P = (-2, 1)
b) ao folium de Descartes x3 + y3 = 9xy no ponto P = (2, 4)

2. Considere a curva dada na forma implícita por x2y +xy2 = 6.
a) Calcule a ordenada y do ponto P=(1, y) do 1º quadrante dessa curva, como mostra a figura.
b) Dê a equação da reta tangente a essa curva, no