Calculo Legal

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U NIVERSIDADE F EDERAL DO PARAN A
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D EPARTAMENTO DE M ATEM ATICA
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M ANUAL T E CNICO -D ID ATICO

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C ALCULO DE V ARIAS VARI AVEIS - CM042
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D EFINIC OES , R ESULTADOS , F ORMUL ARIOS
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E E XERC´CIOS R ESOLVIDOS
I

Autor:
Professor Jos´ Renato Ramos Barbosa e Chefe do Departamento:
Professor Carlos Henrique dos Santos

Primeira Vers˜ o: Dezembro de 2009 a Segunda Vers˜ o: Dezembro de 2010 a Terceira Vers˜ o: Abril de 2011 a www.ufpr.br/∼jrrb

2

Conteudo
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1

Introdu¸ ao c˜ 2

Defini¸ oes c˜ 2.1 Bola Aberta de Centro P0 ∈ R n e Raio r > 0 . . . . . . .
2.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Observacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜
2.2 Conjunto Aberto - Ponto Interior . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ponto de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Conjunto Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Gr´ ficos de Funcoes Reais f de . . . . . . . . . . . . . . a ¸˜
2.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Conjunto de N´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2.6 Traco da Curva Parametrizada γ(t) = ( x (t), y(t), z(t)) .
¸
2.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Dinˆ mica de Uma Part´cula Percorrendo o Traco a ı
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