calculo 1

4.1

Funções Deriváveis

Em cada caso, encontre a derivada da função y = f (x), usando a de…nição.
1
(a) y = x2 + 1 (b) y = 2x3 (c) y = x2 5 (d) y = 2x2 3x (e) y = x+1 8
< x, para x 0
4.1B Seja f a função de…nida em R por f (x) =
:
: 2, para x > 0

4.1A

0
(a) Calcule f 0 ( 1) (b) Existem as derivadas f+ (0) e f 0 (0)?

4.1C

(c) f é derivável em x = 0?

Seja f : R ! R a função dada por f (x) = jxj + x.

(a) Existe f 0 (0)? (b) Existe f 0 (x) para x 6= 0?

(c) Como se de…ne a função f 0 ?

4.1D Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
8
8
< x2 , se x 0
< px, se 0 < x < 1
(a) x = 0; f (x) =
(b) x = 1; f (x) =
: x, se x > 0
: 2x 1, se 1 x < 2
8
< px, se 0 < x < 1
(c) x = 1; f (x) =
: 1 (x + 1) , se 1 x < 2
2

(d) x = 0; f (x) = jxj

4.1E

Existe algum ponto no qual a função y = x2

4.1F

Seja f uma função derivável em x = 1 tal que lim

4x não é derivável? Por quê? f (1 + h)
= 5: Calcule f (1) e f 0 (1) : h!0 h

4.1G Suponha que f seja uma função derivável em R, satisfazendo f (a + b) = f (a) + f (b) + 5ab, f (h)
= 3, determine f (0) e f 0 (x) : h!0 h
8
< 3x2 , se x 1
4.1H Calcule a e b, de modo que a função f (x) = seja derivável em x = 1:
: ax + b, se x > 1
8a; b 2 R. Se lim

4.1I Em cada caso, determine as equações das retas tangente e normal ao grá…co de f , no ponto cuja abscissa é fornecida.

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL

(a) f (x) = x2=3 ; x = 8

MARIVALDO P MATOS

(b) f (x) = x

3=4 ;

x = 16

(c) f (x) =

p

x; x = 3:

Determine a equação da reta tangente à parábola y = x2 , com inclinação m =

4.1J

17

8: Faça um

grá…co ilustrando a situação.
4.1K

Determine a equação da reta normal à curva y =

x3 =6, com inclinação m = 8=9:

8 p
< x 2, se x 2
4.1L Se y = f (x) é a função de…nida por y =
, encontre as equações das
: p2 x; se x 2 retas tangente e normal ao grá…co de f , no ponto de abscissa x = 2:
4.1M

Determine a equação da