calculo 1

Universidade Federal do Rio de Janeiro
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INSTITUTO DE MATEMATICA
Departamento de M´todos Matem´ticos e a
1a Prova Unificada de C´lculo I - Polit´cnica e Engenharia Qu´ a e ımica 10/05/2011
1a Quest˜o: (3,0 pontos) Nesta quest˜o, n˜o use a regra de L’Hospital. a a a 1. Calcule os limites:
2x5 − 3x3 + 2x2 − 1
(a) lim x→−∞ 3x5 − 4x + 1 arctg [(1 + h)2 + 1] − arctg 2
(b) lim
(dica: vocˆ reconhece alguma derivada?) e h→0 h 2. Dˆ o valor de A para que a fun¸ao f abaixo seja cont´ e c˜ ınua em x = 0:

2 senx 1


− 1 cos

 x x
, x=0 e f (x) =




A
, x = 0.
2a Quest˜o: (2,5 pontos) a 1. Encontre uma equa¸˜o da reta tangente ` curva y = ln x que passe pelo ponto (0, 0). ca a x2 + ax + b
2. Encontre a e b de modo que as retas tangentes aos gr´ficos de y = a e x+1 √ y = 2x + 1 no ponto P = (0, 1) sejam perpendiculares.
3a Quest˜o: (3 pontos) Considere a fun¸ao definida por f (x) = |x|(x3 − 2x), que possui a c˜
2
derivada f (x) = |x|(4x − 4). Determine, caso existam:
1. O dom´ ınio e os zeros de f (x); ıntotas verticais e horizontais;
2. As ass´
3. Os intervalos onde a fun¸ao ´ crescente e onde ´ decrescente; c˜ e e 4. Os valores de m´ximo e m´ a ınimo locais e/ou absolutos; o o
5. Os intervalos onde f (x) seja cˆncava para baixo e cˆncava para cima e os pontos de inflex˜o; a
Use as informa¸oes anteriores para fazer um esbo¸o do gr´fico de f . c˜ c a 4a Quest˜o: (1,5 ponto) Sejam a fun¸ao a c˜ f (x) = (x − a)(x − b)g(x),
I um intervalo aberto contendo [a, b], onde g(x), x ∈ I, ´ cont´ e ınua em [a, b] e g(x) > 0, para todo x ∈ [a, b]. Suponha que g (x) ´ cont´ e ınua em [a, b] e que existe g (x) em (a, b). a ıtico em (a, b);
1. Mostrar que f (x) n˜o se anula em (a, b) e que f (x) tem um ponto cr´
2. Mostrar que existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = g(a) + g(b).

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Boa Sorte!!!