Aula13

1
MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
RESUMO DA AULA TEÓRICA 13
Livro do Stewart: Seções 4.1 a 4.3.
MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS: revisão da aula teórica 6
Definição: O máximo absoluto de uma função f em um intervalo I é o maior valor possível de f ( x ) quando x varia em todo o intervalo I . Analogamente, o mínimo

f em um intervalo I é o menor valor de f ( x) quando x percorre todo o intervalo I . absoluto de uma função

Teorema: Toda função contínua em um intervalo fechado

 a , b  possui máximo e

mínimo absolutos.
As figuras a seguir ilustram que esse resultado pode ser falso caso alguma hipótese do teorema não seja satisfeita.

Pergunta: como determinar os valores de máximo e de mínimo absolutos de uma função contínua definida em um intervalo fechado? Veremos que, para responder essa pergunta, é conveniente o estudo dos pontos de máximo e mínimo locais da função.

MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS
Definição: Uma função f , definida num intervalo I , tem máximo local em x  c se existir  0

tal que f ( x )  f (c) para todo x  c   , c    . Analogamente, dizemos

que essa função tem mínimo local em x  c se existir

 0

tal que f (c )  f ( x) para

todo x  c   , c    . Observe que, nessas definições, c deve estar no interior do intervalo I .

(veja próxima ilustração)

2

Observação: o valor de máximo absoluto de uma função contínua intervalo fechado igual a

f definida em um

 a , b  é o maior dos valores dos seus máximos locais, ou então é

f (a) ou f (b) .

Dessa observação, vemos que para encontrar os valores de máximo e de mínimo absolutos de uma função contínua definida em um intervalo fechado

 a , b  devemos

pesquisar esse valor entre todos os valores de máximo e de mínimo locais. Portanto, para responder a pergunta do início da aula, precisamos responder a seguinte questão:
Pergunta: como determinar os valores de máximo e de mínimo locais?
A próxima figura ilustra uma vizinhança de um máximo e de um mínimo local de uma
função