aula01

Aula 01: Cinemática: Velocidade e aceleração. Movimento plano (Componentes radial e transversal).
CINEMÁTICA
Velocidade e Aceleração
O objetivo da cinemática é estudar o movimento. Ele está relacionado com o espaço, o tempo e com as taxas de mudança das quantidades vetoriais relacionadas com a geometria do movimento.
Consideraremos inicialmente o movimento de um ponto num sistema fixo de coordenadas xyz. A posição de um ponto p que está em movimento contínuo ao longo de uma curva s, tal como indicado na Fig. 1, é dada pelo seu vetor posição r, cujo módulo e direção são funções do tempo. Durante um intervalo de tempo ∆t , r muda para r + ∆r , e sua velocidade v é dada pela derivada temporal

v = lim

∆t →0

(r + ∆r ) − r = lim ∆r = dr .
∆t

∆t →0

∆t

dt

(1)

Pode-se mostrar que a direção de v coincide com a direção de ∆r quando este se aproxima de zero, ou seja, a tangente à curva s em p. Reescrevendo v na forma
∆r ∆s
,
∆t →0 ∆s ∆t

v = lim

o valor limite de ∆r / ∆s é um vetor unitário ao longo da tangente à curva de tal forma que a velocidade pode ser escrita como v= ds
1t . dt (2)

Fig. 1 - Variação temporal de um vetor r.
Se r é dado em termos de suas componentes retangulares, então

r = rx i + ry j + rz k ,

(3)

1

onde rx , ry e rz são as componentes de r ao longo dos eixos x, y e z do sistema fixo de

coordenadas e i, j e k são os vetores unitários correspondentes. Derivando (3) com relação ao tempo tem-se dr = r&x i + r&y j + r&z k , dt (4)

onde i, j e k são tratados como constantes.
Aceleração é a taxa de mudança da velocidade com o tempo. Observando uma mudança na velocidade de v para v + ∆v no intervalo ∆t , obtém-se

a = lim

∆t → 0

(v + ∆v ) − v = lim ∆v = dv = v& i + v&
∆t

∆t →0

∆t

dt

x

y

j + v& z k .

(5)

Movimento no plano (componentes radial e transversal)
Considere uma partícula p se movendo ao longo de uma curva s fixa num plano com referencial Oxy, tal como indicado na Fig. 2. A posição de p é dada pelo vetor posição r = r1 r ,