Aula De Derivada Implicita

UNI-BH - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS - PROFESSOR RANGEL
DERIVADAS IMPLÍCITAS
1- FUNÇÕES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS:
Considere que a variável y depende da variável x, ou seja, que y é uma função de x. Dizemos que uma função é implícita quando a variável y está escrita diretamente em temos da variável x: f(x) = y.
Por exemplo: y = x2 – 1, com x real.
Por outro lado dizemos que a função é implícita quando a variável y não está escrita diretamente em termos da variável x.
Por exemplo:
a) x2 + y2 = 1, com x no intervalo [-1,1].
b) y + xcosy = 1.
Note que no exemplo “a” é possível escrever a função implícita na forma explícita:
X2 + y2 = 1
,
com x no intervalo [-1,1]
Então podemos enxergar a função implícita representada como sendo a união de duas funções explicitas dadas:

Por outro lado, como no exemplo b, há casos nos quais é difícil ou até mesmo impossível reescrever a função implícita.
2- CALCULANDO A DERIVADA IMPLÍCITA:
CASO 1: Transformando em derivada explícita:
Exemplo:
3xy + 4y – 2x = 5 Y (3x + 4) – 2x = 5 Y = daí, Caso 2: quando não conseguimos isolar a variável:
A derivação de equações implícitas podem ser generalizadas pelo uso das derivadas parciais.
1- Equações com duas variáveis:
Dada uma equação na qual figurem as variáveis x e y, podemos transpor os termos para o membro da esquerda e a equação toma a forma: ; onde f é uma função a duas variáveis. Esta equação define y implicitamente como uma função g de x se ; e é válida para todo valor de x no domínio de g. Considerando que f e g sejam diferenciáveis, então pelo Teorema 1 (visto na aula da regra da cadeia) podemos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e obter: ou onde y = g(x). se podemos resolver a última equação em obtendo portanto:
Exemplo 1:
Encontre quando x=1 e y=1 daí:
(sol.: -13/3)
2- Equações com três variáveis:
Dada uma equação ela pode ser derivada para uma das variáveis, digamos z em relação as outras duas variáveis x e y. Esta solução tem a