Computação 1

Cálculo Diferencial e Integral A
Sábado

10a Aula Derivadas

Derivadas de Ordem Superior e Implícitas

Código: T 1106A / T 1204A

Turma: ECA206AN

Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI

Versão: 1o Semestre de 2007

5 - DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Ao derivar-se uma função de uma variável independente, na maioria das vezes obtém-se, como resultado uma nova função desta variável, ou então uma constante, isto é, se ou . Assim, esta nova função ou mesmo a constante , podem ser derivadas novamente em relação à variável independente, isto é,

ou , ou .

Esta nova função , da variável independente, (ou a constante ) pode ser derivada novamente, na maioria das vezes obtém-se, como resultado uma nova função desta variável, em relação à variável independente, isto é,

ou .

E assim, sucessivamente as novas funções, da variável independente, (ou as constantes ) podem ser derivadas novamente, obtendo-se, como resultado novas funções desta variável, isto é,

ou , ou se mesmo após obter-se uma constante como resultado prosseguirem-se as derivações.

Onde as derivadas também podem ser denotadas como, segue: , , , , .

Exemplo: Seja uma partícula deslocando-se sobre uma reta, a sua posição num dado instante é dada por .

A velocidade instantânea de uma partícula é dada pela taxa de variação da posição de em relação ao tempo. Assim,

E a variação instantânea da velocidade no tempo dá a aceleração da partícula,

(derivada 2a de no tempo)

Então,

e

Exemplo:

Encontre todas as derivadas da função

Exemplo: Usando as fórmulas de derivação, calcular as derivadas de 1a e 2a ordem da função , no ponto .

Solução:

para , tem-se:

e a segunda derivada, será

para , tem-se:

Resposta: e

Exercício: Usando as fórmulas