Atps calculo ii

ETAPA 01
Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

O conceito de velocidade está intimamente ligado à variação da posição. Se a posição de um objeto muda com o tempo, ele está animado de velocidade. Se ele está em repouso, sua velocidade é nula.

Digamos que, no tempo t1, a partícula estava em x1 e que, no instante t2, ele está em x2. Admitiremos t2 > t1.
Assim, no intervalo de tempos t1 dado por, houve uma variação da posição, , dada por

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Definimos então a velocidade escalar média como a razão entre a variação da coordenada e o intervalo de tempo decorrido:

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Observe-se que a velocidade escalar média sempre faz referência a dois instantes de tempo (por isso, falamos em média). No entanto, a velocidade na qual temos maior interesse é a velocidade num determinado instante de tempo. Tal velocidade é denominada velocidade instantânea.

Para definirmos a velocidade instantânea, devemos recorrer a um conceito matemático conhecido como limite.

Observemos que a velocidade média é definida tomando-se dois instantes de tempo. Para defini-la num determinado instante, basta tomarmos intervalos de tempo cada vez menores. Dessa forma estamos assegurando que, cada vez mais, não exista diferença entre t2 e t1. Portanto, estaremos falando, ao tomarmos o limite no qual tende a zero, de um só instante de tempo.

Definimos, portanto, a velocidade instantânea no instante t1 através do processo limite:

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O processo limite definido acima tem o nome de derivada da função x(t) com respeito ao tempo e se representa:

Na física, o conceito de velocidade média ou velocidade escalar média é diferente do conceito de velocidade instantânea. A velocidade média esta ligada a um intervalo de tempo ∆t enquanto a velocidade instantânea a um instante de tempo t.
Para entender melhor esta diferença vamos estudar o exemplo de um movimento uniformemente variado. Um carro parte do repouso (velocidade inicial zero) e percorre 100m em 10s. Qual a