Apostila Polinomios II

Aula 02

Polinômios

Dispositivo prático de Briot-ruffini:

Raízes reais e raízes imaginárias
Todo polinômio tem um número par de raízes complexas, pois as raízes complexas são aos pares
(o número complexo e seu conjugado). Portanto um polinômio de grau ímpar terá no mínimo uma raiz real! Termo independente
Todo polinômio que apresentar termo independente diferente de zero não terá raízes nulas. Porém se o termo independente for nulo (zero) então podemos dizer que o ZERO é raiz deste polinômio, e sua multiplicidade será igual ao menor valor do expoente da variável "x".

Raízes reais: a quantidade de raízes reais tem a mesma qualidade do grau do polinômio:
Polinômio com grau ímpar possui quantidade ímpar de raízes reais.
Polinômio com grau par possui quantidade par de raízes reais.

Teorema do resto
“O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x – a) é o valor numérico para
P(a)”
Ou seja, para determinar o resto da divisão de um polinômio por um binômio do primeiro grau devemos substituir o “x” pela raiz do divisor.
(igualar a zero e isolar o “x”)
Obs: Se este resto for igual a zero, ou seja, P(a) = 0 então dizemos que o polinômio P(x) é DIVISÍVEL pelo binômio (x – a), e, portanto "a" é uma raiz do polinômio P(x).
Ex1: O resto da divisão de
P(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3 por x+2=0 x = -2

x +2 é

9

2. (-2)3 + 5 . (-2)2 – 4 . (-2) – 3
2.(-8) + 5 . 4 + 8 – 3
-16 +20 + 8 – 3 = 9

Ex2: O resto da divisão de P (x) = 2x2 – x – 1 por
P (x)= x – 1 é ZERO, pois fazendo-se x – 1 = 0, temos que x = 1 e como a soma dos coeficientes de P(x) resulta zero, “1” também é raiz desse polinômio.

Exercícios
1) (UFPR PR) O resto da divisão de P(x)= x4 – 2x3
+ 2x2 + 5x +1 por x-2 é:
a) 1
b) 20
c) 0
d) 19
e) 2

2) (UFRN RN) Seja P (x)= x3+ 6x – x – 30 . Se P(2)
= 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é:

5) (FAFI MG) O resto da divisão de P(x)= x5 – 3x4
+ 2x3 – x2 + x – 1 por q(x)= x – 3 é:

a) {-2, -3, -5}

a) um múltiplo de 7.

b) {2, -3, -5}

b) um número primo.